1027 - Con cien dígitos

Supongamos que elegimos 100 digitos al azar, 
¿Cuál es la probabilidad de que con ellos podamos formar dos números a y b, tal que a^2 = b ?
Los cien dígitos deben formar parte de a o de b.
Obviamente que no son válidos los números que empiezan con cero

Un ejemplo : con tres dígitos en vez de cien, a y b podrían ser respectivamente : 4,16 - 5, 25 - 6, 36 - 7, 49 - 8, 64 - o 9 ,81 . Pero con 357, 117, o 669 no se podría formar ningún par a,b.


Del libro Puzzles in math and logic de A. Friedlan

1026 - Otros como el 15251

En Prime Curios! aparece el número 15251 como el menor número capicúa tal que la suma de los números primos que van desde el menor factor hasta el mayor factor es un número primo, como así también la suma de los compuestos entre estos dos factores.
Haciendo los cálculos : 
15251 = 101 x 151
y 
101 + 103 + 107 + 109 + 113 + 127 + 131 + 137 + 139 + 149 + 151 = 1367 (primo)
102 + 104 + 105 + 106 + 108 + 110 +  …  + 146 + 147 + 148 + 150 = 5059 (primo)


Leyendo el título de la entrada se imaginarán cual es la pregunta del día.
¿Cuales son los que siguen?
¿Cuál es el mas grande que pueden encontrar?

1025 - Dividiendo 1025

- Así que llegaste a las 1025 entradas?
- Estoy en eso  - contesté
- Te propongo un problema entonces
- Te escucho
- Suponé que divido 1025 figuritas en dos pilas, del tamaño que vos quieras
- Ahá
- Ahora contá cuantas figuritas tenes en cada pila y multiplicá los números obtenidos
- Fácil, yo había pensado una figurita por un lado y 1024 por el otro, así que el producto es 1024
- Ok, ahora, yo divido la pila que tiene mas de una figurita y hago lo mismo. Por ejemplo divido las 1024 en una pila de 1000 y  otra de 24, el producto me da 24000. A este valor lo sumo al resultado anterior 24000+1024 = 25024.  
Lo que tenes que hacer ahora es dividir cada una de las pilas que quedaron, en dos, calcular los productos y sumarlos al resultado anterior
- Y después?
- Seguimos dividiendo,  multiplicando y sumando hasta que queden 1024 pilas de una figurita.
- Ahá, y ?
- La pregunta es ¿Cuanto va a dar la suma total?

1024 - Números que se transforman

En los siguientes números si concatenamos los largos de las palabras que forman al mismo número obtenemos una permutación del número original.
Curiosamente, o no, los ejemplos que encontré usan solo dos grupos de números: 

13570   = Trece mil quinientos setenta
 Letras =     (5)    (3)     (10)         (7)        =  53107

 70513 = Setenta mil quinientos trece
 Letras =     (7)     (3)       (10)       (5)      =  73105



13615  = Trece mil seiscientos quince 
Letras  =  (5)    (3)        (11)         (6)       =  53116
 
15613  = Quince mil seiscientos trece 
Letras  =     (6)    (3)       (11)         (5)     =  63115



 Habrá ejemplos con números  de mas cifras?

   

1023 - Dados quien empieza

Imagínese que usted desea jugar un juego con 2-4 jugadores, y es necesario determinar aleatoriamente quién juega primero. Si cada uno de ustedes simplemente tirara un dado estándar, hay una buena probabilidad de que haya empates, ustedes tendrían que volver a tirar los dados y nadie quiere eso.
Estos dados diseñados por Eric Harshbarger resuelven este problema:

Son dados de doce caras cada uno, los cuales entre los cuatro, tienen escritos los números del 1 al 48 y fueron diseñados para que cumplan las siguientes condiciones:

a - Nunca habrá un empate
b - Independientemente de que grupo de dados sean tirados, todos los jugadores tienen la misma chance de obtener el número mas alto y por lo tanto de ser el ganador. Dicho de otro modo, dos, tres, o cuatro jugadores pueden tomar cada uno de los dados, tirarlos, y cada uno tendrá siempre una probabilidad de 1/2, 1/3 o 1/4, respectivamente, de obtener el resultado más alto.
c - Finalmente, no sólo pueden usarse todos los dados (o cualquier subconjunto) para determinar el primer jugador, sino que los números obtenidos también se pueden usar para determinar todas las posiciones de partida (el segundo número más alto puede ser el segundo jugador, el tercero más alto el tercer jugador, etc) ya que la probabilidad de cada una de las permutaciones de cualquier subconjunto determinado de dados es la misma, por lo que nunca habrá la posibilidad de que un subconjunto particular favoreciera a algunos de los jugadores.

Aquí están los números de cada uno de los dados:

D1: 1, 8, 11, 14, 19, 22, 27, 30, 35, 38, 41, 48
D2: 2, 7, 10, 15, 18, 23, 26, 31, 34, 39, 42, 47
D3: 3, 6, 12, 13, 17, 24, 25, 32, 36, 37, 43, 46
D4: 4, 5, 9, 16, 20, 21, 28, 29, 33, 40, 44, 45


Si arrojamos dos dados cualesquiera, por ejemplo el 1 y el 3 , tenemos 144 resultados posibles, y en la mitad ellos gana el dado 1 en tanto que en la otra mitad gana el 3.

Si arrojamos tres de los dados, por ejemplo el D1, D2 y el D3, tenemos 12³ = 1728 resultados posibles y el orden de los dados será  [D1,D2,D3] en 288 ocasiones, lo mismo para cualquiera de las otras cinco permutaciones [D1,D3,D2], [D2,D1,D3], [D2,D3,D1], [D3,D1,D2] y [D3,D2,D1

En tanto que al tirar los cuatro dados, hay 20736 resultados posibles, y cada dado ganará en  5184 ocasiones, y cada una de las 24 permutaciones [Da,Db,Dc,Dd] se da exactamente en 864 de las 20736.

Se puede ver todas las combinaciones y sus probabilidades aquí.


Esta entrada participa de la Edición 3,1415926 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Series Divergentes.

1022- Números de nueve digitos

¿Cuántos números de nueve dígitos hay, tal que no tengan tres dígitos repetidos y consecutivos?

Ejemplos de estos números serían 112234588, 552781234, 121212121 en tanto que 123444567 no cumple la condición (tiene tres dígitos repetidos y consecutivos : 444)

1021 - Primos cercanos a potencias de 10

El siguiente número que tiene 239 cifras es primo :

99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999989

Este otro tiene 203 cifras

1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000009

1020 - Seiscientos once nonillones setecientos dieciseis

Tratando de resolver  el problema 658 planteado en PrimePuzzles, encontré unos números curiosos que serían la versión española del número encontrado por Eric Harshbarger.
Es muy fácil encontrar números que tienen en su composición una cantidad  diferente de cada dígito, por ejemplo 122333, tiene un 1, dos 2 y tres 3,  podemos encontrar  infinitos de estos números. Inclusive podemos escribir números que tengan un digito una vez, otro dos, el tercero, tres, así hasta nueve o diez. Pero con las letras de los nombres de los números no ocurre lo mismo.

Seiscientos once nonillones setecientos dieciseis es un número que tiene 57 dígitos (un 7, dos 6, tres 1 y cincuenta y un 0), pero además tiene exactamente : 
1 d, 2 l, 3 t, 4 c, 5 o, 6 n, 7 i, 8 s y 9 e.

En tanto que :
Un octodecillón doscientos cinco nonillones seiscientos cinco tiene 109 dígitos pero además tiene exactamente: 
1 u, 2 d, 3 t, 4 l, 5 e, 6 s, 7 i, 8 c, 9 n y 10 o.
y
Doscientos doce millones doscientos dieciséis mil setecientos veinticinco tiene 1 v, 2 m, 3 l, 4 d, 5 t, 6 n, 7 c, 8 e, 9 s, 10 e y 11 i.

 ¿Serán estos los menores números en español con este tipo de característica?

Carlos Rivera me comenta que él encontró :
Mil trescientos veintiseis millones seiscientos cinco mil novecientos once que es el menor número primo con las siguientes características:
r=1, v=2, m=3, l=4, t=5, c=6, o=7, n=8, s=9, e=10, i=11

1019 - Tirando monedas

Juguemos  un juego con monedas.
 
Tu tienes 100 monedas de diez centavos, y yo tengo 99 monedas de cinco centavos. 
Al mismo tiempo, echamos nuestras monedas al aire y las dejamos caer en el suelo. 
Luego contamos meticulosamente los resultados de nuestros lanzamientos.

Tu ganas si logras más caras que las que yo obtengo. 

¿Cuál es tu probabilidad de ganar?



Un problema  de Presh Talwalkar

1018 - Múltiplos con menor suma de sus dígitos

Simple :
¿Cuál es el menor múltiplo de 29 cuya suma de sus dígitos es la menor posible?
Por ejemplo 58 (29x2) tiene suma 13, pero 116 (29x4)  tiene suma 8 y 203 (29x7) tiene suma 5

Complicado :
¿Cuál es el menor múltiplo de 97 cuya suma de sus dígitos es la menor posible?


Difícil:
¿Cuál es el menor múltiplo de 313 cuya suma de sus dígitos es la menor posible?

1017 - Pintando con Camila

A Camila le regalaron seis potes de pintura, uno rojo, uno azul, uno amarillo, uno verde, uno celeste y uno rosa.
Todos los días ella píntaba un cuadro. Los cuadros de Camila consistían en rectángulos del mismo tamaño, uno al lado del otro pero de distintos colores
Habiá días en que usaba cada color por separado, por ejemplo hacía primero una rectángulo rojo, después uno azul, una amarillo, uno verde, uno celeste y por último uno rosa

 Una vez que había pintado en un determinado orden, no lo volvía a repetir. Así que estuvo pintando varios días hasta que no pudo pintar un nuevo cuadro sin que fuera igual a alguno que ya había pintado.
Fue ahí que empezó a mezclar colores, así un día mezcló el rojo con el azul y pintó el primer rectángulo con ese color y los otros con los otros colores, claro que los dias siguientes pudo seguir usando esta combinación hasta que no puedo seguir pintando sin repetir alguno de los cuadros ya pintados. Mezcló entonces otros dos colores y siguió pintando.  Cuando se le acabaron los cuadros, mezcló tres, después cuatro y hasta cinco colores, una vez que terminó todas las combinaciones posibles, pintó un último cuadro que consistía en un solo rectángulo con todos los colores mezclados.


¿Cuántos cuadros pintó Camila?

1016 - Acceso libre al archivo de revistas matemáticas

En el sitio Elsevier colocaron los links al archivo de varias revistas matematicas:

1015 - Una secuencia

                UNO
              CINCO
               DOS

                CUATRO
              SEIS
                NUEVE
               OCHO
                ONCE

                DIEZ
               DOCE
             TRES

             TRECE
               QUINCE
               CATORCE
             SIETE
         VEINTITRES
           DIECIOCHO

           DIECISEIS
              DIECISIETE
               DIECINUEVE
        VEINTIDOS

             VEINTE
         VEINTICUATRO
               VEINTIUNO
                VEINTICINCO
               VEINTISEIS

Los primeros números de esta secuencia son : 1, 5, 2, 4, 6, 9, 8, 11, 10, 12, 3, 13, 15, 14, 7, 23, 18, 16, 17, 19, 22, 20, 24, 21, 25, 26, ...

¿Si seguimos completando esta secuencia, agregando siempre el menor número para formar verticalmente el nombre del número que sigue en la secuencia, aparecerán todos los números naturales?

¿Si empezamos por cualquier otro número, aparecerán todos los números?

Esta secuencia es una versión en español de una hecha en inglés por Eric Angelini

1014 - Familias de números

Decimos que dos o más números, con el mismo número de dígitos, son miembros de la misma familia, cuando dos de dichos números tienen al menos un dígito común.  
Por ejemplo, los números 72, 32, 25 y 22 pertenecen a la misma familia ya que el todos tienen el dígito 2, mientras que los números 123, 245 y 568 no pertenecen a la misma familia, ya que no hay un dígito que aparezca en los tres números.
  

¿En los números de tres dígitos, cuál es la mayor cantidad de miembros que puede tener una familia?

Problema de la olimpiadas brasileñas

1013 - Casi, casi 10

Un curioso resultado :

vía Algebrafact

1012 - Buscando primos entre las mitades de dos primos consecutivos

Tomemos dos primos consecutivos como el 5 y el 7, calculemos sus mitades y veamos si entre ellas hay algún primo:

5/2  =  2.5
7/2  = 3.5

Es evidente que hay un primo, 3, entre las dos mitades de dos estos dos primos consecutivos.

Veamos que pasa entre las mitades de los primos consecutivos 113 y 127

113/2 = 56.5
127/2 = 63.5

en este caso hay dos primos entre 56.5 y 63.5 , el 59 y el 61

y entre las mitades de 1637 y 1657?

1637/2 = 818.5
1657/2 = 828.5

hay tres primos : 821, 823 y 827

La idea es entonces, buscar el menor de dos primos consecutivos tal que entre las mitades de estos haya n primos.

Aquí están los primeros términos hasta n =7

5,113,1637, 2971, 44293, 305663, 370261

Encontrar los siguientes términos de esta serie.

1011 - Encuentro por Martin Gardner

Como ya es costumbre se realizarán en todo el mundo encuentros para celebrar el ingenio de Martin Gardner. En la Argentina se hará el 20 de octubre.

Aquí está el programa :

3er encuentro para celebrar el ingenio de Martin Gardner

Sabado 20 de octubre, de 13:45 a 18:00 hs. (comienza puntual)

Auditorio CENDAS,  Bulnes 1350, Buenos Aires.

Entrada libre y gratuita

en Facebook

Programa 2012

Palabras de apertura (Rodolfo Kurchan)  

1) "VennGeneralizando", Pablo Coll 

Los diagramas de Venn de dos o tres conjuntos son muy conocidos.
Recorreremos parte de la exploración proveniente del intento de
responder la pregunta:
¿Qué pasa si intentamos aumentar la cantidad de conjuntos?

2) “Cuestion de nombres”, Ariel Arbiser
Los nombres de los números, para chicos y grandes. Curiosidades en número.

3) "Juegos y matemática en Los Simpson", Claudio Sanchez

Un breve repaso de algunos acertijos y curiosidades matemáticas en Los Simpson.

4) “Palabras Autorreferentes Escondidas”, Rodolfo Kurchan  

Encuentre las palabras escondidas, como ayuda tendrá que prestar atención a las pocas letras que se ven, ya que estas nos darán una pista autorreferente a la palabra que queremos encontrar.

Primer intervalo  (“Aprender a pensar” Beatriz Monroy) 

5) "Juegos e ingenieria inversa", Ariel Futoransky

Teniendo los planos a tu disposición, podrías convencer a una computadora caprichosa que puntúe a tu favor?

6) "Edificios", Ivan Skvarca

Algunas preguntas sobre un tradicional juego de deducción lógica.

7) “Caminata marciana”, Gustavo Piñeiro

Un acertijo numérico en el que debemos recorrer cráteres con el mínimo consumo posible de energía. Pequeño homenaje al robot explorador Curiosity.

8) "Dos juegos de lápiz y papel", Marcos Donnantuoni

Descripción de dos juegos (uno inédito y otro no tanto) para jugar con lápiz y papel: Zuniq y Muescas

Segundo intervalo  (“Practica de los juegos”, Marcos Donnantuoni) 

9) "Por qué rara es una palabra rara", Claudio Meller

Algunas palabras raras  que aparecen en el DRAE

10) "Cuadrados escondidos", Fernando Chorny

Un juego con imágenes en el que parte del juego es descubrir a qué jugamos.

11) “Rebuses Actuados”  Laura Spivak y Esteban Grinbank

Con el objetivo de acercar al sagaz e inquieto espectador al mundo de los rebuses, presentamos una forma dinámica, con un método no convencional: la actuación.

Pueden tomar como referencia este ejemplo, para empezar a entrenarse:

vean este video

En esta oportunidad los rebuses estarán referidos a clásicos de la literatura y el cine.

Tercer  intervalo

12) “M.G.. 4 M .G.” Gustavo "Hacker"Guaragna

Una selección de ilusiones elegidas, creadas o inspiradas por o para Martín Gardner (o nada de lo anterior).

Cierre  (Rodolfo Kurchan)

Opiniones sobre el encuentro. Contacto. Reunión de 2013.

1010 - Dandole vuelta a los múltiplos de 9091

Si un número de diez dígitos, abcdefghij es múltiplo de 9091 también lo son bcdefghija, cdefghijab, defghijabc, efghijabcd, fghijabcde, ghijabcdef, hijabcdefg, ijabcdefgh y jabcdefghi

6852013974 =   753714 x 9091

8520139746 =   937206 x 9091

5201397468 =   572148 x 9091
 2013974685 =   221535 x 9091 
  0139746852 =   15372 x 9091 
 1397468520 =   153720 x 9091 
3974685201 =   437211 x 9091
9746852013 =  1072143 x 9091
7468520139 =   821529 x 9091
4685201397 =   515367 x 9091

  En este ejemplo en particular el número además es pandigital y tiene el 2013 dentro, existen mas de 1200 números pandigitales que son multiplos de 9091 y por lo tanto todos presentan esta particularidad. 
Esta característica no es una propiedad exclusiva de los múltiplos de 9091, sino que tambien lo es de los múltiplos de 3, 11, 41 y 271. 

Veamos porque :

Para transformar a abcdefghij en bcdefghija realizamos las siguientes operaciones, (llamamos M a abcdefghij):

bcdefghija = 10M - 10⁹a + a = 10M - a (10⁹- 1)
y como 999999999 = 3² x 11 x 41 x 271 x 9091
si M es múltiplo de cualquiera de estos factores también lo será bcdefghija

Esta propiedad se puede extender para números de n cifras:
Si un número de n cifras es multiplo de un factor de  10ⁿ -1, también lo serán los que deriven de pasar el primer dígito al último lugar sucesivamente.


Así por ejemplo si abcde es múltiplo de 271, también lo serán bcdea,  cdeab, deabc y eabcd

1009 - Juntando cartas

Usted tiene un número ilimitado de cartas rojas, azules y amarillas para formar una mano.  
Cada carta tiene un valor y la puntuación de la mano es la suma de los valores de los puntos de esas tarjetas. 
Los valores de las cartas son los siguientes: 

• El valor de cada carta roja es 1 
• El valor de cada carta es azul igual al doble del número de cartas rojas que usted tenga, y
• El valor de cada carta amarilla, es igual a tres veces la cantidad  de cartas azules que usted tenga. 

¿Cuál es la máxima puntuación que se puede obtener con quince cartas?

Este es un problema de MIT Mathematics Tournament.

1008 - Igual a la suma de sus dígitos a la cuarta

El número 2401 presenta la característica de que además de tener todos los dígitos diferentes es igual  a la suma de los mismos elevada a la cuarta potencia:

2+4+0+1 = 7 y 7⁴ = 2401

¿Qué otro número que tiene todos sus dígitos distintos, es igual a la suma de los mismos elevada a la cuarta?

1007 -Generando capicúas

Existen números que al sumarles dichos números "dados vueltas" dan lugar a números capicúas.

Por ejemplo:

17 + 71 = 88
23 + 32 = 55

Si al número capícua obtenido le repetimos el proceso mucha veces no obtenemos inmediatamente un número capícua, sino que lo logramos después de una serie de pasos.

Por ejemplo para 17 -> 88 -> 176 -> 847 -> 1595 -> 7546 ->14003 -> 44044
                                                    1          2           3            4           5
Vemos que después del 88 se generan cinco números no capicúas antes de que aparezca un capicúa.

¿Cuál es el menor número que después de generar un capicúa, genera seis o mas no capicúas?
 
¿ Y el primero que genera después del capicúa exactamente seis no capicúas?

1006 - The Prime Puzzles and Problems Connection

En el excelente sitio The Prime Puzzles and Problems Connection  de Carlos Rivera se publica semana tras semana, hace ya varios años, interesantísimos problemas relacionados con los números primos.
Esta semana Carlos modifica mi problema 1002 para aplicarlo a números primos.

El problema dice así :

¿Cuál es la menor suma que se puede lograr usando primos que tengan en su composición cada dígito exactamente K veces?

Por ejemplo para k = 1 y sin considerar el cero, un conjunto posible sería 61, 283, 47, 59 , pero este grupo no es el que tiene la suma mínima.
Si se permite el uso del cero un conjunto posible es 251, 409, 67, 83, pero este grupo tampoco es el de la suma mínima.

Carlos pide encontrar las respuestas para k=1 hasta k=10, usando o no el cero.

Todos los que esten interesados pueden responder en Problema 656  antes de este viernes. 

Por favor no pongan las repuestas en los comentarios, si logran resultados enviénselos a él.

También pueden ver los anteriores 655 problemas y ver si mejoran algunas de las soluciones publicadas.

En los comentarios pueden poner como encararían el problema