784 - Concatenando cuadrados

- Hice magia...
- ¿Qué otro "gran descubrimiento" hiciste?
- Tomé dos números cuadrados, uno de cuatro dígitos y otro de ocho, los puse uno al lado del otro y obtuve otro cuadrado.
- El de cuatro iba adelante del de ocho o al revés?
- Eso no me acuerdo, lo único que sé es que uno de los dos empezaba con siete
- Dejame pensarlo...

783 - El primo mas largo conocido y Twitter

En la página  Understandingbignumbers nos hablan de números realmente grandes y nos muestran con ejemplos prácticos cuan grandes son. Las siguientes entradas son una muestra de ello:



A) El mayor primo

• 2^43,112,609 − 1 es el número primo mas largo conocido hasta la fecha. 
• Tiene 12978189 dígitos. 
• Si usted quisiera escribir dicho número, y escribiera un dígito por segundo, trabajando ocho horas diarias en este este ridículo proyecto, usted tardaría 450 días en hacerlo.
• Asumiendo que usted está utilizando una página de 25 líneas, y que está escribiendo 70 dígitos por línea, usted necesitaría  más de 7000 hojas  de papel para escribirlo.
• Ah! y si usted lo quisiera escribir en Twitter necesitaría 92000 tweets para escribirlo completo.

B) Twitter

• Según twitter informó en Agosto de este año, en un día se mandan 200.000.000 (si, doscientos millones) de tweets.
• Sabiendo que un tweet promedio tiene 110 caracteres y que una palabra promedio tiene 4.5 caracteres se pueden hacer algunos cálculos divertidos.
• Por ejemplo, los 32 volúmenes de la enciclopedia Británica tienen en total 44.000.000 de palabras, esto equivale a lo que se escribe en twitter en solo 13 minutos.
• Si eso no lo impresiona, piense que la saga completa de Harry Potter tiene 1.084.074 palabras, exactamente lo que se twitea en 19 segundos.
• Otra forma de verlo es que cada segundo se mandan 2315 tweets
• Digamos que usted es un fanático de twitter y decide descargarse los 20 gigabytes de texto puro que representan los 200.000.000 de tweets de un día. Si después decide imprimirlos,  usando una fuente 12 Times New Roman, e imprimiendo a doble faz (7636 caracteres en cada lado de la página) le ocuparía nada mas y nada menos que 1.400.000 hojas.
• Claro que después de imprimirlo, le gustaría leerlo, y digamos que usted es el campeón mundial de lectura y lee 4700 palabras por minuto, entonces leer los tweets de un día le llevaría aproximadamente unos 119 años leyendo las 24 horas del día.

782 - Sumando dígitos

¿Cuál es el menor número de cinco dígitos mayor 10000 en el que la suma de sus dígitos es igual a la suma de los dígitos de su cuadrado, e igual a la suma de los dígitos de su cubo?

781 - Una extraña forma de multiplicar

- Descubrí un nuevo método de multiplicar - dijo Julio
- Otra vez con tus pavadas...
- No, no, esta vez con los números que elegí me funcionó.
- ¿Qué números eran?
- Uno de tres dígitos y otro de dos.
- ¿y que hicistes?
- A cada número le disminuí en uno cada dígito y luego los escribí uno al lado del otro, formando un número de cinco dígitos que era igual al producto de los dos números originales.
-¿Qué números eran los originales?
- Eso te preguntó yo a vos

780 - Flavio y Rosendo

Flavio y Rosendo se dieron cuenta de que si multiplicaban sus edades obtenían un producto que al que si le sacaban el último dígito era igual a la suma de sus edades. Por otro lado si sumaban los dígitos de dicha suma obtenían la diferencia de sus respectivas edades. 


¿Qué edades tienen Flavio y Rosendo?

779 - Leyendo la enciclopedia

El otro día estaba hojeando una enciclopedia que tengo desde que era chico, (esos grandes libros que uno usaba cuando no sabía algo antes de que aparezca Google), y me di cuenta que me faltaban todo un grupo de hojas seguidas.
Sumando los números de las páginas que me faltaban la cuenta me dio 9808.

¿Desde y hasta cuál página me faltan? 

778 - El número pi en la biblia

De acuerdo con  P. Beckmann en a history of π, p. 12, en el año 2000 aC, los antiguos Babilonios conocían que π era cercano a 25/8 (≈ 3.125), mientras que los egipcios lo estimaban en 4 (8/9) ² (≈ 3,1605). Beckmann, como muchos otros, no oculta su sorpresa al ver que en la Biblia la estimación aparente es un simple 3. Esto se basa en dos pasajes de la Biblia (I Reyes, VII.23, y II Crónicas IV.2) que podrían traducirse como:

Y él (Salomón) hizo fundir asimismo un mar, de diez codos de un borde al otro perfectamente redondo, y su altura era de cinco codos, y lo ceñía alrededor una línea de treinta codos.

Esta es una reconstrucción de la vasija que se llamó metafóricamente mar debido a su gran tamaño

Claramente, si el diámetro es de 10 codos y la circunferencia es de 30 codos, la estimación de π es el vergonzoso 30/10 = 3.

En 1985, el Dr. Stern, cuestionó esta lectura. Creo que el razonamiento de Stern merece ser conocido mejor. Dice el Dr. Stern: Tengo dos versiones del Antiguo Testamento. En las dos, las versiones de Crónicas son idénticas, mientras que las versiones de los Reyes difieren ligera, pero significativamente. Además, la versión de Crónicas es diferente a una de las variantes de los Reyes en una sola palabra. La otra variante se explaya sobre esta diferencia. Permítanme explicar:

La versión más amplia de este pasaje es de una de las ediciones de los Reyes:

Todas las diferencias entre las distintas versiones se concentran en unas pocas palabras las cuales están marcadas con un círculo rojo:

En ambas versiones de las Crónicas aparece una sola palabra:

De esta manera:

En una variante de los Reyes también hay una sola palabra y es esta

De esta manera:

En la cita completa por encima de las dos palabras aparece (un paréntesis). Permítanme observar que el hebreo se escribe y se lee de derecha a izquierda. La letra ו anterior a las dos palabras significa "y" y no es parte de las palabras, a pesar de que se escribe sin espacio entre ellas.

Entonces, ¿qué son esas palabras קו y קוה , y cuál es la diferencia entre ellas?

En primer lugar, el primero - קו - es una palabra hebrea cuyo significado es una línea (ver la traducción arriba.) La segunda palabra - קוה - tiene un doble significado: a) recoger el agua, y b) Esperanza. Vemos que ninguna de las dos definiciones se ajustan al texto. Cuando קוה aparece en una de las variantes de los Reyes , es seguido por un mandato (entre paréntesis) para tratarla como si fuera קו . Pero si su significado no se ajusta al resto del texto, ¿por qué esta palabra aparece en el primer lugar?

Los antiguos hebreos (como lo hicieron los antiguos griegos)  utilizaban letras para señalar a los números. A las 22 letras del alfabeto se le han asignado los sucesivos valores del 1 al 9, del 10 al 90 y del 100 al 400. (Tener en cuenta que todas las letras son consonantes, las vocales no se consideran letras, y se las pueden ver como puntos y líneas cortas justo por debajo de las consonantes y a menudo se omiten)

Cada palabra hebrea entonces se puede considerar como un número (la guematria de la palabra). Así, por ejemplo, la guematria de la palabra קו es 106. Por otro lado, קוה significa el número 111. Stern sugiere que ambas combinaciones de letras קו y קוה deben ser vistas como números y no como palabras.

En otras palabras, la expresión que se traduce como "una línea de treinta" debe leerse como "111 (tratado como 106) 30 veces", lo que introduciría un factor de corrección de 111/106, esto implica la siguiente estimación:

30 . 111 / 106 ≈ 31,41509 o sea 10 x 3.141509

donde en este caso π  se encuentra con un error de solo 10^-4 con respecto a su valor correcto.

Beckmann observa que los sabios del Talmud (c. 500 dC) insistieron en el valor incorrecto de 3, y opina que esto es probablemente uno de los primeros casos de divergencia entre ciencia y religión:

En el momento en que el Antiguo Testamento fue editado, la ciencia y la religión ya estaban separadas. La inexactitud de los valores bíblicos de π  no es más que una curiosidad divertida.Sin embargo, con la perspectiva de lo que sucedió después, es interesante tomar nota de esta piedrita en el camino de la confrontación entre ciencia y religión, que en varias ocasiones entraron en un conflicto abierto ...

¿Quién sabe? Crónicas que usa קו es posterior a Reyes, que usa  קוה . Tal vez, los compositores de Crónicas estaban en esa etapa inicial que se atrevió a escribir las cosas sin tener la comprensión de lo que estaban haciendo.

Referencias

1. P. Beckmann, (una historia de) π , San Martín Press, 1971
2. MD Stern, una notable aproximación a π , La Gaceta Matemática , v 69, n 449 (octubre 1985), 218-219

Este Entrada es una traducción del artículo que apareció en CTK 

Esta entrada participa en la Edición 2.6 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog La Vaca Esférica.

777 - Números y letras

Entre el uno y el diez hay:

• Dos números que se escriben con tres letras (uno y dos) 
• Cuatro que se escriben con cuatro letras (tres, seis, ocho y diez)
• Tres que se escriben con cinco letras (cinco, siete y nueve)
• Uno que se escribe con seis letras (cuatro)

Una primera curiosidad es que hay cuatro números que se escriben con cuatro letras.

Por lo visto entre el uno y el diez, cuatro letras es lo mas frecuente.

En el siguiente cuadro vemos las frecuencias de los largos en la franja del 1 al 100, del 1 al 1000 y del 1 al 1000000.

Este cuadro nos muestra que entre el 1 y el 100 lo mas frecuente son números que se escriben con 13 letras (20 números), entre el 1 y el 1000 los mas frecuentes son los de 23 y 24 letras (135 números), y entre 1 y 100000 lo mas frecuente son números con 49 letras (60554 números)


Entre el 1 y 1000000 hay exactamente 6 números en español que tienen seis letras, estos son: cuatro, quince, veinte, mil uno, mil dos y dos mil. Una curiosidad es que en inglés también hay seis números que tienen seis letras entre el 1 y 1000000 : eleven (11), twelve (12), twenty (20) ,thirty (30), eighty (80) y ninety (90).

Algunas preguntitas: 

• Entre el 1 y el 100, ¿Cuál es el único numero que tiene ocho letras?
• ¿Y el único que tiene dieciséis letras?
• Entre el 1 y el 1000, ¿Cuál es el único número que tiene veintinueve letras?
• Entre el 1 y 1000000, ¿Cuál es el único número que tiene sesenta y una letras?

776 - Potencias de 36 y 37

Tomemos las primeras potencias de 36 y de 37

36³         = 46656            37³   = 50653

36²         =  1296             37²   =   1369

36¹         =      36             37¹   =       37

36⁰         =        1             37⁰   =         1


Si las concatenamos obtenemos 
466561296361 y 506531369371
los dos son números primos.

775 - Distintas formas de factorear

El número 24 puede factorearse de 7 maneras diferentes:


24=1*24
24=2*12
24=3*8
24=4*6
24=2*2*6
24=2*3*4
24=2*2*2*3


Nota: el 1 se usa solo en la primera factorización.

¿De cuántas formas pueden factorearse 96, 100, 999 y el 1000?

774 - ABCD

                Si  ABCD es divisible por 17.
                 y  CADB es divisible por 11.
en tanto que  CDBA es divisible por  7.
        
Si los tres son divisibles por 3, encontrar el menor ABCD posible.


de la revista Sphinx

773 ¿Que es mas probable?

¿Qué contestarías a la siguiente pregunta?:

¿Qué es mas probable, morir en un atentado terrorista o morir ahogado en una bañera?

Según un trabajo de John Mueller y Mark Stewart, fuera de los países/zonas que están en permanente conflicto (como Iraq, Afganistán, Chechenia, Israel, Sudán, Pakistán y Kashmir) es mas probable morir ahogado en la bañera. En este trabajo "HARDLY EXISTENTIAL: TERRORISM AS A HAZARD TO HUMAN LIFE" lo demuestran. Además al final del trabajo hay una tabla donde se comparan las probabilidades por distintos tipos de causa de muerte en EEUU frente a las muertes por terrorismo.

772 - Un cuadrado que empieza como termina

¿Cuál es el menor cuadrado que empieza y termina con tres cuatros?

771 - Probabilidades en el dominó

¿De cuántas formas se pueden escoger dos fichas de dominó, de las 28 que hay, de forma tal que se pueda poner una junta a la otra? 

(es decir, de modo que por lo menos un mismo número se encuentre en las dos fichas)

770 - Potencias de 54 y 55

Tomemos las primeras potencias de 54 y de 55


54³ =  157464      55³ =  166375
54² =      2916      55² =      3025
54¹ =          54      55¹ =          55
54⁰ =            1      55⁰ =            1


Si las concatenamos obtenemos


1574642916541 y 1663753025551


los dos son números primos

769 - El cuatro

Si uno tiene una, dos tiene dos y tres tiene tres, ¿Cuántas tiene cuatro?

768 - Suma pandigital que da un número capicúa

(1+3)⁹ + (2+5)⁸ + (6+7)⁴ = 6055506

Le ecuación anterior usa del lado izquierdo todos los dígitos del uno al nueve una sola vez, dando como resultado un número capicúa. Existe una ecuación similar del tipo:
 
(a+b)^c+ (d+e)^f+ (g+h)ⁱ = Capicúa

En el que capicúa es un número menor a mil.

¿Cuál esa ecuación?

767 - Un problema de edades

Marcelo y su hermana menor Ana son los nietos de Liliana y Fabián, siendo Fabián mayor que Liliana.
Este año se da la curiosidad de que los cuatro tienen edades primas.
Además la suma de los dígitos de la edad de Ana mas los de Liliana es igual a la suma de los dígitos de las edades de Marcelo y Fabián.
Por otra parte la suma de los dígitos de las edades de las mujeres es igual a la suma de los dígitos de la suma de los cuadrados de sus edades, y lo mismo pasa con las edades de los hombres

¿Cuantos años tienen los nietos?

766 - Una extraña fracción

1 / 3162 = 0,000316255534...




Aquí va otra aportada por Pablo en los comentarios:


1/(316227766)=0,00000000316227766033676

Paolo Lava me informa en los comentarios que estos números forman parte de la serie A065924 de la OEIS (Números n tal que 1/n comienza con n después de eliminar los ceros de la izquierda) : 1, 3, 10, 100, 316, 1000, 3162, 10000, 100000, 1000000, 10000000, 100000000, 316227766, 1000000000, 3162277660, 10000000000, 100000000000, 1000000000000, 3162277660168, 10000000000000, 100000000000000

765 - Probabilidades en el ajedrez VI

Aquí va otro de los problemas de Rouse Ball sobre el ajedrez : 

Si en un tablero de ajedrez común de 8x8 colocamos al azar un alfil negro y un rey blanco, ¿Cuál es la probabilidad de que el alfil de jaque al rey y el rey no pueda comer al alfil?

764 - Los números bilingües

- Dentro del número doscientos veinte se ven un siete.
- No se dice así, se dice dentro de doscientos veinte se ve un siete, y a propósito como lo ves?
- Lo que te quiero decir que dentro del 220 leo el seven (7 siete en inglés) doSciEntos VEiNte y 220 es el menor número que lo contiene.
-Ah! ya entendí
- Estos son los otros números en inglés que encontré ordenados dentro de los nombres de los números:


one (1)  en el once
three (3) en el  tres mil ochocientos trece
seven:  220 - doscientos veinte
nine (9) en el veintinueve
ten (10) en el treinta
eleven (11) en el tres mil ciento veinte


Encontré muchos mas, como por ejemplo: thirteen (13), seventeen(17), nineteen (19), thirty (30), one hundred (100) y one thousand (1000)


-Que interesante, voy a ver si puedo encontrar los números en los cuales están escondidos.


El que encuentre algún otro está invitado a comentar.