1464 - Cuadrados mágicos

En esta ocasión busco cuadrados mágicos (filas, columnas y diagonales suman los mismo) en los que cada dígito aparezca exactamente n veces.

Por ejemplo en este cada uno de los diez dígitos aparece exactamente una vez :

                            

Podemos definir para estos cuadrados tres parámetros :
- ST = Suma total, es decir la suma de todos los términos, en el ejemplo da 54.
- Min = Valor mínimo que aparece en el cuadrado, en el ejemplo 2
- Max = Valor máximo que aparece en el cuadrado, en el ejemplo 10.

Busco para cada condición indicada la mayor y la menor ST, el mayor y el menor Min y el mayor y menor Max.

Estos son los cuadrados que yo encontré para las siguientes condiciones:

A) Cada dígito aparece exactamente dos veces :

 A.1 Menor ST = 684, Mayor Max = 130, Menor Min = 22

                                
                    
 A.2 Menor Max = 120

                                

A.3 Mayor ST =711,  Mayor Min = 36

                              

B) Cada dígito aparece exactamente tres veces en el cuadrado, y no se repiten dígitos ni en las columnas ni en las filas:

B.1 Menor ST = 8478

                            

 B.2 Mayor ST  = 8748, Mayor Min =360

                              

B.3 Menor Min =  203,  Mayor Max = 1687

                              

B.4 Menor Max = 1572

                             
C) Cada dígito aparece exactamente cuatro veces 

C.1 Menor ST = 80784, Menor Min = 2244, Mayor Max = 15708

                          


C.2 Mayor ST= 86814. Mayor Min = 5565 , Menor Max = 13727

                           

D) cada dígito aparece exactamente cinco veces: 

D.1 Menor ST = 959688, Mayor Min =  38506, Menor Max = 174758

                          

D.2 Mayor ST = 1183248 , Menor Min =  7968 , Mayor Max =          254976 
                   
                       
Es casiseguro que todos estos valores se pueden mejorar ya que mi busqueda no fue exhaustiva. Espero contribuciones.
Inclusive se pueden formar cuadrados mágicos en los que cada dígito aparece n veces, donde  n > 5

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1464 - Cuadrados mágicos

1463 - Una serie de Rodolfo

Rodolfo Kurchan publicó en un grupo de Facebook  la siguiente serie :

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,23,14,20,13, 24,15,26,17,25,16,27,18,....
Donde a(n) es el menor número aún no presente en la serie tal que a(n-1) y a(n) en conjunto no tienen ningún dígito repetido. 

La pregunta que hace Rodolfo es ¿Cuál es el último número de esta serie? 

Yo propuse 78642, pero no estoy seguro. ¿Habrá algún método de encontrarlo sin utilizar la fuerza bruta? ¿Es ese el último número de la serie?

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1463 - Una serie de Rodolfo

1462 - Primos en un pandigital

Tratando de resolver el puzzle de esta semana , Primes inside a sudoku solutions, del site de Carlos Rivera se me ocurrió estas preguntas:

1 .¿Cuál es el número zero less pandigital (tiene cada uno de los dígitos del 1 al 9 una y solo una vez) que tiene la mayor cantidad de primos dentro?

2 Lo mismo que la pregunta uno, pero tomando primos en ambas direcciones y considerando los primos diferentes

Por ejemplo :
123456789 tiene 9 primos si lo vemos de izquierda a derecha solamente : 2, 23, 2345789, 3, 4567, 5, 67, 7 y 89
En cambio si tomamos ambas direcciones encontramos dos primos mas 43 y 76543.

Yo encontré uno que tiene 18 si tomamos una sola dirección y 26 contando las dos, pero no sé si es el que mas primos tiene, ya me dirán ustedes.
 

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1462 - Primos en un pandigital

1461 - Números compuestos y sus factores primos comparten los mismos dígitos - Parte I

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1461 - Números compuestos y sus factores primos comparten los mismos dígitos - Parte I

1460 - Números y factores con todos los dígitos

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1460 - Números y factores con todos los dígitos

1459 - Potencia de 2 sin 1, 2, 4 u 8

La siguiente pregunta la vi AQUÏ

 

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1459 - Potencia de 2 sin 1, 2, 4 u 8

1458 - Variante de un puzzle

Carlos Rivera publicó en su siempre interesante site Prime Puzzles el siguiente problema de Jean Brette : colocar en un grilla de 3x3 números primos tal que las diferencias entre dos números contiguos sean todas diferentes. (se consideran 18 diferencias ya que se toman como contiguos los números de los extremos, tanto los horizontales como los verticales).

Una solución que yo encontré es la siguiente :

 

 Basado en este problema se me ocurrió el siguiente : 
¿Es posible colocar en una grilla de 3x3 números comprendidos entre 1 y 27 tal que considerando los números colocados y sus 18 diferencias obtengamos todos los números entre 1 y 27?

Encontrar una solución o demostrar que es imposible.
A modo de ejemplo les pongo una grilla que yo encontré que solo repite dos números:

Como verán se repiten el 3 y el 12 y faltan el 9 y el 24 

Actualización: Carlos Feinstein me manda la siguiente solución:

Actualización II: Dmitry Kamenetsky mandó a traves de Carlos Rivera además de la solución de Carlos Feinstein otrs dos para grillas de 3x3, y soluciones para n=4 y n=5

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1458 - Variante de un puzzle

1457 - Estrategia para salvarse

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1457 - Estrategia para salvarse

1456 - La entrada 1130 de este blog

Hace mas de tres años publiqué lo siguiente :

1130 - Los números del 1 al 100

Nueve de los diez primeros números se pueden acomodar de la siguiente manera:

 8 - 4 - 2 - 6 - 3 - 9 - 1 - 5 - 10

De forma tal que cada número o es múltiplo o es divisor de sus vecinos. Yo no encontré forma de acomodar los diez primeros números.

La idea es lograr con esta regla formar la cadena mas larga posible con los números del 1 al 100 inclusive.
Yo tengo una solución de mas de 70  y menos de 80 números, pero seguramente ustedes mis queridos lectores podrán superarla.

¿Existe una regla que nos permita calcular cuál es el número máximo de términos que se pueden colocar cuando los números van del 1 a N?

Por ejemplo para 
N= 2,  1-2
N =3,  3-1-2
N =4,  3-1-2-4
N =5,  el cinco no se puede agregar, o si se agrega hay que sacar el tres
N =6,  5-1-3-6-2-4
etcétera.


Este problema había aparecido hace unos cuantos años en el excelente blog 3decas de merfat (lamentablemente ya no se actualiza), donde está mi solución  

Aquí va mi solución, a ver si alguien puede mejorarla :

Los 23 números que no figuran son: 37, 41, 43, 47,51,53, 59,61, 65, 67, 71, 73, 74,77, 79, 82, 83, 86, 89, 91, 94, 95, 97

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1456 - La entrada 1130 de este blog

1455 - Suma de factores con igual producto, consecutivos

Veamos los siguientes ejemplos :

Encontrar los menores números con 4, 5,...n sumas de factores que generan números consecutivos.

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1455 - Suma de factores con igual producto, consecutivos

1454 - Sumando los factores primos

En esta ocasión tomamos un número compuesto y le sumamos sus factores primos (con repetición), si el número obtenido es compuesto repetimos el procedimiento hasta encontrarnos con un número primo.

Ejemplo :
16 = 2x2x2x2, entonces el 16 genera 16+2+2+2+2 = 24
24 = 2x2x2x3, entonces el 24 genera 24+2+2+2+3 = 33
33 = 3x11      , entonces el 33 genera 33+3+11 = 47
Como el 47 es un número primo no podemos seguir.

Los que más números generan :
2: 6
3: 8
4: 16
5: 32
7: 45
8: 60
11: 66
13: 129
21: 183 

El 183 genera 21 números: 183,247,279,316,399,428,539,564,618,726,753,1007,1079,1175,1232,1258,1314,1395,1437,1919 y 2039

¿Cómo sigue la serie?

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1454 - Sumando los factores primos

1453 - Números Tau

Los llamados números Tau son aquellos que al dividirse por su número de divisores dan un número entero.
Puede verse la definición aquí A033950 y el listado de los primeros 10000 de estos números aquí.

El año en curso, 2016, es uno de estos números ya que la cantidad de divisores de 2016 es 36, y 2016/36 = 56.

Si le restamos a 2016 su número de divisores, 36, obtenemos 1980, el cual también es un número Tau.
Procedemos de igual manera con los números obtenidos mientras obtengamos un número Tau.
2016 (36) --> 1980 (36) ---> 1944 (24) ---> 1920 (32) y ahí termina la cadena ya que 1888 no es un número Tau.

Podemos decir que 2016 genera (contandose a si mismo)  cuatro números Tau.

¿Cuál es la cadena mas larga de números Tau que aplicando esta metodología se puede encontrar?

English version :  Tau numbers

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1453 - Números Tau

1452 - Reemplazando

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1452 - Reemplazando

1451 - ¿Cuántas soluciones?

Del libro de Clement Wood, "Book of Mathematical Oddities"

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1451 - ¿Cuántas soluciones?

1450 - Multiplos con todos los dígitos

Encontrar para cada primo la secuencia de múltiplos de dicho primo, cuya suma sea menor y que contenga cada uno de los dígitos del 0 al 9 una y solo una vez

Ejemplos de dichas secuencias (no sé si son los de menor suma) :

Para 2 :  14, 36, 58, 70, 92. Suma = 270
Para 3 :  12, 39, 48, 57, 60. Suma = 216
Para 5 :  12345, 67890      . Suma = 80235
Para 7 :  63, 70, 189, 245  . Suma = 567
Para 11: 165, 704, 2398    . Suma = 3267

Son estas las menores sumas? 
Buscar las secuencias para los siguientes números primos

Actualización : Mmonchi y Vicente encontraron los siguientes valores :

Para 3: 6, 9, 18, 27, 30, 45 (135)
Para 5: 13685, 24790 (38475) Mmonchi
Para 7: 7, 28, 49, 63, 105 (252) Mmonchi
Para 11: 264,539,1078 (1881)  Vicente
Para 13: 26, 78, 195, 403 (702) Mmonchi
Para 17: 34, 85, 102, 697 (918) Mmonchi
Para 19: 19, 76, 285, 304 (684) Mmonchi
Para 23: 46,92,713,805 (1656) Vicente
Para 29: 493,580,1276 (2349) Vicente.
Para 31: 372,496,1085 (1953) Vicente.

English Version :Multiples with all the digits

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1450 - Multiplos con todos los dígitos

1449 - Tenis

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1449 - Tenis

1448 - Cadenas de primos complementarios

Llamemos complemento de un número positivo al siguiente procedimiento: se toma cada dígito por su valor posicional y se resta del mayor los otro dígitos.
Ejemplo para 
1448 = 1000 + 400 + 40 + 8
Complemento (1448) = 1000 - 400 - 40 - 8 = 552

639 = 600 +30 + 9 
Complemento (639) = 600 - 30 - 9 = 561

Ahora bien para primos mayores a 11 hay muchos primos cuyo complemento también es primo.
Estos complementos primos a su vez pueden llegar a generar nuevos primos al calcular su complemento.
Ejemplo  643 --> 557 ---> 443 y aquí termina ya que 443 genera el 357 que no es primo

La idea es entonces formar la cadena mas larga posible de primos empezando por un primo:

7 primos :   18127 - 1873 - 127 - 73 - 67 - 53 - 47  
8 primos :   18181213 - 1818787 - 181213 - 18787 - 1213 -787 - 613 - 587

Obviamente cuento como uno los primos que se generan a si mismos (los menores de 10) 

La idea es entonces encontrar la cadena mas larga posible

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1448 - Cadenas de primos complementarios

1447 - Suma de Residuos

Tomemos cualquier número, por ejemplo el número de esta entrada, 1447.
Calculemos los residuos (restos) al dividirlo por los números del 1 al 9 : 0,1,1,3,2,1,5,7,7
Sumemos dichos restos = 0+1+1+3+2+1+5+7+7 = 27
Llamemos a dicha suma SdR, o sea SdR(1447) = 27

Apliquemos ahora SdR a los números primos:
Asi tenemos que 
SdR (2) =14
SdR (3) =19
SdR (5) = 24
etcétera

Ahora bien ocurre que  SdR(29) = SdR(31) = 21 , es decir que 29 y 31 son los dos menores  números primos consecutivos que poseen el mismo SdR.
Investigando un poco encuentro que los tres menores primos consecutivos con igual SdR son 6449, 6451 y 6469, ya que SdR(6449) = SdR(6451) = SdR(6469) = 21

Así los primos menores de un grupo de n primos consecutivos con el mismo SdR son

n = 2 :  29
n = 3 :  6449


Encontrar los  primos para n>3 (que los hay)

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1447 - Suma de Residuos

1446 - Domino Domino Logic

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1446 - Domino Domino Logic

1445 - Particionando un número

¿Cuál es el menor número que puede particionarse  de cuatro formas diferentes en tres términos todos con el mismo producto? 

Ejemplo : 

N = A+B+C

N = D+E+F

N = G+H+I

N = J+K+L

y AxBxC = DxExF = GxHxI = JxKxL 

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1445 - Particionando un número

1444 - Completando las ecuaciones

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1444 - Completando las ecuaciones

1443 - Extensión del problema anterior

La idea es buscar la secuencia formada por las menores sumas de las secuencias que contengan exactamente P múltiplos del primo P, empezando por la que tiene dos y solo dos múltiplos de dos, seguida por la que tiene dos y solo dos múltiplos de dos y tres y solo tres múltiplos  de tres, etc .

Esta secuencia comienza así : 6, 32, 20 ya que

- La menor suma de una secuencia que contenga dos y solo dos múltiplos de dos es 6  (2,4)

- La menor suma de una secuencia que contenga dos y solo dos múltiplos de dos y tres y solo tres múltiplos de tres es 32 y la secuencia es 2,6,9,15

¿Cómo continuaría este secuencia? 

Correción:  La menor suma de una secuencia que contenga dos y solo dos múltiplos de dos y tres y solo tres múltiplos de tres es 20 (2,3,6,9) y no 32 

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1443 - Extensión del problema anterior

1442 - Championnat International FFJM 2015

Encontrar un conjunto de números enteros positivos todos distintos con suma ≤ 2015, tal que:
- 2  y sólo 2 de ellos son divisibles por 2,
- 3  y sólo 3 de ellos son divisibles por 3,
- 5  y sólo 5 de ellos son divisibles por 5,
- 7  y sólo 7 de ellos son divisibles por 7,
- 11  y sólo 11 de ellos son divisibles por 11,
Entre todos los conjuntos de enteros  que cumplen estas condiciones, encontrar aquél en que la suma de los términos es mínimo.

Un problema del Championnat International FFJM 2015

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1442 - Championnat International FFJM 2015

1441 - Casi pi

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1441 - Casi pi

1440 - Generando primos

Tomemos cualquier número mayor a 3, multipliquémoslo por 2 y al resultado restémosle 3. 
Si el número obtenido es primo, repitamos esta operación.

Por ejemplo si empezamos con el 5 : 
5 x 2 - 3 = 7
7 x 2 - 3 = 11
11 x 2 - 3 = 19
y no podemos seguir ya que el próximo es 19 x 2 - 3 = 35 que no es primo.

Buscando hasta mil obtenemos esta secuencia en la que a(n) es el menor número que genera n primos al realizar estas operaciones : 11, 7, 5, 4, 8, 283, 143, 913

Si restringimos la condición de que los números originales sean también primos obtenemos esta otra secuencia:
11, 7, 5, 13, 563, 283, 1823

Su misión, si quiere aceptarla, es continuar cualquiera de estas dos series

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1440 - Generando primos

1439 - Aumentar 2016 veces el producto

Tengo 13 factores  que me dan un producto P.
Si a cada uno de los 13 factores los aumento en una unidad, el nuevo producto es P x 2016
¿Cuáles son esos factores?


Para que se entienda mejor va un ejemplo en el que el producto aumenta 2015 veces y los factores son 14:

 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x  2 x 4 x 30 x 64  = 15360
 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x  3 x 5 x 31 x 65 = 30950400                                                                                    = 15360 x 2015

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1439 - Aumentar 2016 veces el producto

1438 -Columnas sobre filas que se acercan a Pi

En esta ocasión debemos colocar 9 de los 10 números que van del 0 al 9 en un tablero de 3x3, de forma tal que la división entre las suma de las columnas sobre la suma de las filas se acerque lo mas posible a PI 

Con los números del 1 al 9 solo se puede llegar a 2.7159, así que el cero debe participar para poder acercarnos a pi.

¿Cuál es la configuración que logra acercarse mas a PI?

Como ejemplo les pongo un tablero que da exactamente 3 :

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1438 -Columnas sobre filas que se acercan a Pi

1437 - Columnas sobre filas

Instrucciones :
Colocar los números del 1 al 9 en un tablero de tres por tres.
Sumar los tres números de tres cifras que se forman en las columnas.
Sumar los tres números de tres cifras que se forman en las filas.
Dividir el número obtenido en la suma de las columnas por el obtenido en la suma de las filas
El número obtenido es lo que llamamos resultado.

Ejemplo : 
Encontrar los tableros con las siguientes soluciones :

a) Un tablero en el que el resultado sea exactamente 1 y cuya Suma de Columnas sea máximo
b) Lo mismo que a pero con Suma de Columnas mínimo
c) Un tablero en el que el resultado sea exactamente 2 con Suma de Columnas máximo
d) Lo mismo que c pero con Suma de Columnas mínimo
e) El tablero con el mayor resultado posible.

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1437 - Columnas sobre filas

1436 - Apellidos en el nombre o viceversa

Hace algunos años, Rodolfo Kurchan planteó en Snark el encontrar personajes que tuvieran sus nombres incluidos en sus apellidos o viceversa.
Como ejemplos se daban los nombres de dos futbolistas : Andrés D'alessandro y Carlos Roa.
Uno de los participantes de la lista aportó el nombre del escritor Ray Bradbury
Uno de los que yo encontré es el actual presidente de Argentina :

¿Algunos otros ejemplos?


 

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1436 - Apellidos en el nombre o viceversa

1435 - 29 de Febrero

El 29 de febrero de 2008 Michelle Birnbaum de Saddle River, Nueva Jersey, dio a luz a su hija, Rose.  
Eso no sería muy inusual, lo que hizo que esta noticia fuera inusual es que la madre también había nacido un 29 de febrero (de 1980.)

Las probabilidades de que un niño nazca un 29 de febrero son de 1 en 1641 en tanto que las probabilidades de que dos personas compartan ese cumpleaños están en algún lugar en el rango de 2 millones a uno.

Otra de las coincidencias de este nacimiento es que si escribimos las fecha como dd/mm/aa tenemos 29/02/80 y 29/02/08.

Fuente : North jersey.com
 

Por otro lado, que día sería hoy si no hubiesen existido los años bisiestos?
Pues hoy sería el 16 de Julio de 2017

Fuente : Los Angeles Times

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1435 - 29 de Febrero

1434 - Poniendo 57's en 1709

En el sitio Mathemagical site nos dicen que 1709 además de ser un número primo, permite ir poniendo en el centro varios números 57 de forma tal que siempre se va formando un nuevo número primo:

1709
175709
17575709
1757575709
175757575709
17575757575709
1757575757575709
175757575757575709
17575757575757575709

Todos primos.
En total se pueden poner ocho 57's en medio del 1709, habrá otros ejemplos parecidos?

Pd : Carlos Rivera me hace notar que el número con ocho 57's no es primo. 

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1434 - Poniendo 57's en 1709

1433 - Variante sobre números narcisistas con división

A raíz de la entrada del 5 de febrero, el 241, el profesor Inder J Taneja (@ijtaneja) publicó lo que el llamó Números narcisistas con división:

En base a esto busqué una variante de este tipo de números

54901 presenta la curiosidad que el numerador da -54901

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1433 - Variante sobre números narcisistas con división

1432 - Una secuencia sin 2, 0, 1 o 6

Buscamos una secuencia tal que los números que la componen no tengan entre sus dígitos el 2, 0, 1 o el 6.
La suma y el producto de dos terminos seguidos tampoco pueden tener alguno de estos dígitos.
Si la serie empieza en 5, los primeros términos serían : 5, 79, 455, 7379, 47955, etc

¿Cuál es el término 2016?

Basado en una idea de Eric Angelini

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1432 - Una secuencia sin 2, 0, 1 o 6

1431 - El 241

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1431 - El 241

1430 - 219753 x 5

En la siguiente cuenta, vemos que los números que se acarrean son el 1, 2, 3 y 4 en ese orden en tanto que el resultado de la multiplicación va dando los números del 5 al 10 en orden también.

¿Alguien conoce otra cuenta curiosa similar a esta?

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1430 - 219753 x 5

1429 - Con todos los dígitos

R = A x B x C
Los números A, B y C tienen entre los tres todos los dígitos (del 0 al 9 inclusive)
En tanto que R, también tiene todos los dígitos del 0 al 9 (una sola vez cada uno).


La pregunta es , ¿Cuál es el menor valor de (A, B o C) de tal forma que el valor de D sea máximo?
Pd : Considerar solo valores positivos de A, B y C

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1429 - Con todos los dígitos

1428 - 21218453415461109221

Inserte cinco comas entre los dígitos 21218453415461109221, de forma tal de obtener 6 números.
Cada uno de dichos 6 números al expresarlos en binario, alternan unos y ceros, es decir no tienen en binario ni dos ceros, ni dos unos consecutivos.

¿Cuál es la suma de estos seis números?

Por ejemplo si el número fuera 542 y la cantidad de comas a poner fuera una, la respuesta sería 47 (5+42).
Ya que en binario 5 = 101 y 42 = 101010.

Un problema de Puzzleup 2014

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1428 - 21218453415461109221

1427 - Cinco numeritos

Encuentre cinco números de un dígito cada uno, y escríbalos uno al lado del otro, de forma tal que la suma de los cinco es divisible por el último de los números, pero no por ninguno de los otros cuatro.
La suma de los primeros cuatro es divisible por el cuarto, pero no por ninguno de los primeros tres.
La suma de los primeros tres es divisible por el tercero de los números pero no por ninguno de los primeros dos.
La suma de los primeros dos es divisible por el segundo, pero no por el primero.

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1427 - Cinco numeritos

1426 - Un número especial

Los ocho dígitos del número incógnita son todos diferentes.
Para cada dígito de este número,(que tiene al menos dos dígitos vecinos por la derecha), la mitad de su cuadrado es mayor que el producto de los dos dígitos que le continuan por la derecha.

¿Cuál es el mayor de estos números incognita? 

Por ej la cadena 637 no podría estar presente en el número en cuestión porque (6x6)/2 < 3x7

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1426 - Un número especial

1425 - 2016

Les deseo a todos los seguidores del blog un muy feliz 2016
Coloco aquí algunas imágenes que vi en la red en el que participa el 2016

 

En la siguiente a puede ser cualquier dígito (1 a 9)

 


 

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1425 - 2016

1424 - Rifa

En el club estan organizando una rifa para juntar fondos.
Los organizadores quieren que exactamente el 1% de las rifas tenga premio.
Si se va a otorgar premio solo a aquellos números que sean potencias perfectas, ¿Cuántas rifas se van a imprimir?


Un problema de S. Denham

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1422 - Facebook y los amigos

Con esto de las redes sociales, sobre todo Facebook, uno tiene muchos "amigos".
Casi todos los días Facebook me avisa que alguno de mis "amigos" cumple años, pero curiosamente (o no?), no todos los días alguno de mis amigos cumple años.

Les pregunto, ¿en teoría, cuál es el número mínimo de amigos que tengo que tener para que todos los días alguno cumpla años?

Pd : Se puede hacer el cálculo sin tener en cuenta a los que nacieron el 29 de febrero, o teniéndolos en cuenta.

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