1379 - Cuadrados con todos los dígitos

Coloque en la grilla todos los dígitos del 0 al 9 de forma tal que se forme un cuadrado de dos dígitos, uno de tres y dos de cuatro dígitos.

Visto en  Sunday Times 2734 por Andrew Skidmore

1378 - Moda, mediana y promedio en escalerita

Es fácil encontrar 7 números enteros positivos tal que su moda, mediana y promedio sean tres números consecutivos.
Un poco mas complicado pero no tanto, es encontrar tres números consecutivos A, B y C y formar seis grupos de números enteros positivos tal que

Serie 1  Moda = A, Mediana = B, Promedio = C
Serie 2  Moda = A, Mediana = C, Promedio = B
Serie 3  Moda = B, Mediana = A, Promedio = C
Serie 4  Moda = B, Mediana = C, Promedio = A
Serie 5  Moda = C, Mediana = A, Promedio = B
Serie 6  Moda = C, Mediana = B, Promedio = A

Un ejemplo de esto último con A= 18, B=19 y C=20:

17, 18, 18, 19, 20, 21, 27  Moda = 18, Mediana = 19, Promedio =20
9, 18, 18, 20, 21, 22, 25 Moda = 18 , Mediana = 20, Promedio = 19
7, 10, 12, 18, 19,19, 55 Moda = 19, Mediana = 18, Promedio =20
2, 19, 19, 20, 21, 22, 23 Moda = 19, Mediana = 20, Promedio = 18
1, 2, 7, 18, 20, 20, 65 Moda = 20, Mediana = 18, Promedio = 19
5, 6, 8, 19, 20, 20, 48 Moda = 20, Mediana = 19, Promedio = 18 

Preguntas : 
¿Cual es el menor A que se puede encontrar para formar 6 series con estas características?
¿Se puede encontrar un grupo como estos en los que A, B y C son primos consecutivos?
y si así fuera, ¿es posible además que todos los números de las series sean también primos?

1377 - El producto de los dígitos dividido por la suma de los mismos es un entero

Hay números en los que si calculamos el producto de sus dígitos y lo dividimos por la suma de los mismos obtenemos un número entero.

Por ejemplo para el 44, tenemos que 4x4 / 4+4 = 2

Como es costumbre buscamos los menores números que dan como resultado 1,2,3, etc.

 1 . 22  ya que 2x2 / 2+2 = 1
 2 . 36  ya que 3x6 / 3+6 = 2

Por otra parte podemos buscar números de este tipo que generen secuencias  (los menores números que generan otros números a los que les podemos aplicar el mismo procedimiento)

2 . 22 -> 1
3 . 3489 --> 36 ---> 2

Ustedes ya se imaginan lo que busco.


Basado en un problema de D. Khan