1228 - Bucles númericos

1254 Mil doscientos cincuenta y cuatro tiene 29 letras
    29 Veintinueve                                tiene 11 letras
    11 Once                                          tiene  4 letras
      4 Cuatro                                        tiene  6 letras

y no podemos seguir porque seis tiene cuatro letras y ya apareció en la secuencia

El cinco tiene cinco letras y no forma secuencia

Entonces tenemos 
 - 5 un paso
 - 4 dos pasos 4 - 6
- 14 tres pasos 14 - 7 - 5
 - 1 cuatro pasos 1 - 3 - 4 - 6
-  1254 cinco pasos 1254 - 29 - 11 - 4 - 6

La idea ya está expuesta. ¿Qué números generan mas pasos? 

1227 - Las edades de Abbott y Costello

 Laurel tiene 4 años y Hardy 29 y la suma de los números comprendidos entre sus edades es la concatenación de las mismas  4+5+6+...+27+28+29 = 429

Lo mismo ocurre con las edades de Abbott y Costello pero con el agregado de que sus edades  terminan en el mismo dígito.

¿Que edades tienen Abbott y Costello?

1226 - Logaritmo de 19

En la entrada de ayer explique como calcular los logaritmos de varios números ya sea por aproximación o por cálculo a partir de otros valores. 
Claro que no todos los logaritmos se pueden deducir por este método ¿o si?
La verdad es que no lo sé.
Por ejemplo se puede deducir el logaritmo de 19 usando alguno de los trucos explicados ayer? y los de los demás primos?

Se pide que los valores no difieran mucho

1225 - Calculando logaritmos

Los logaritmos son muy útiles para realizar cálculos con números grandes
Hoy en día con las calculadoras modernas e internet se puede hacer todo tipo de cálculos rapidamente y sin tener ningún tipo de conocimiento matemático, pero cuando no se disponen de estas herramientas  usar logaritmos para hacer cálculos aproximados es muy útil. Claro que para poder usarlos hay que tener una tabla de logaritmos o saber algunos logaritmos de memoria para poder hacer las cuentas.
Sin embargo es posible deducir muchos logaritmos decimales sin tener que memorizarlos.
Solo hay que saber unas cosas básicas que cualquier persona que haya terminado el colegio sabe.

En primer lugar un repaso sobre los logaritmos (log) y sus características principales:

- El logaritmo en base b de un número X es el número al cual hay que elevar a b para obtener X.
En esta entrada usaré solo logaritmos en base 10 o decimales por lo tanto se puede adaptar la definición anterior :
- El logaritmo decimal de un número X es el número al cual hay que elevar a 10 para obtener X.
Así por ejemplo el log de 10 es el número al que hay que elevar a 10 para que nos de 10 por lo tanto log 10 = 1 ya que 10¹ = 10.

- El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores (y el de una division es la resta):
así el logaritmo de 35 = log (7x5) = log 7 + log 5

- El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base
Ejemplo  log 100 = log 10² = 2 log 10 = 2
Es muy fácil por lo tanto calcular los logaritmos de las potencias de diez, el valor del logaritmo es igual a la cantidad de ceros que tiene dicha potencia

Sabiendo estas cosas básicas y usando aproximaciones podemos deducir los valores de muchos logaritmos:

Logaritmo de 2
2¹⁰ = 1024 ~ 1000 = 10³
entonces 10 x log 2 = 3 x log 10
log 2 = 3/10 = 0.3 
Valor real = 0.30103


Logaritmo de 3
Para calcular el log de 3 sabiendo el de 2, hay que notar que 2¹⁶ = 65536 y 3⁸ = 6561
por lo tanto 2¹⁶ ~ 10 x 3⁸ aplicando logaritmos
16 log 2 = 1 + 8 log 3
log 3 = 16/8 log 2 - 1/8 = 2 log 2 - 0.125 = 0.477
log 3 = 0.477

Mas fácil para recordar:
3⁴ = 81 ~ 80 = 10 x 2³
4 log 3 = 3 log 2 + 1
log 3 = 3/4 log 2 + 1/4  = 0.476 ~ 0.477


Logaritmo de 4
4 = 2x2 
log 4 = log 2 + log 2 = 0.602
log 4 = 0.602

Logaritmo de 5
5 = 10/2
log 5 = log 10 - log 2 = 1 - 0.301 = 0.699
log 5 = 0.699

Logaritmo de 6
6 = 2 x 3  
log 6 = log 2 + log 3 = 0.301 + 0.477 = 0.778
log 6 = 0.778

Logaritmo de 7
En este caso aprovechamos que 7⁴ = 2401 ~ 2400 = 2³ x 3 x 100  por lo tanto:
7⁴ ~ 2³ x 3 x 100
4 log 7 = 3 log 2 + log 3 + log 100
log 7 = (0.903 + 0.477 + 2)  / 4
log 7 = 0.845

Más fácil para recordar
7² ~ 50 = 5 x 10
2 log 7 = log 5 + log 10
log 7 = log 5/2 + 1/2 = 0.699/2 + 0.5 = 0.849 ~ 0.845

Logaritmo 8
8 = 2³
log 8 = 3 log 2
log 8 = 0.903

Logaritmo de 9
9 = 3x3
log 9 = log 3 + log 3
log 9 = 0.954

Habiendo obtenido estos valores es fácil calcular los logaritmos de 1.5, 2.5, 3.5, 4.5
El de 5.5 se puede calcular haciendo el promedio entre el de 5.4 (6x9/10) y el de 5.6 (7x8/10), con el valor del log de 5.5 podemos deducir  el de 11 (5.5 x 2)  y con el de 11 el de 6.6 (6x11/10) lo que nos permite calcular el de 6.5 por promedio, y así obtener el de 13, de la misma forma podemos obtener el de 8.5 y con este el de 17

Esta entrada participa de la edición 4.123105 del Carnaval de matemáticas que en esta ocasión organiza el blog Cifras y Teclas

1224 - Todos los Dígitos

Sebi y Julieta tienen unas edades tales que multiplicadas por 2013 dan dos números que entre los dos tienen los 10 dígitos.
Que edades tienen Sebi y Julieta?

Curiosamente este problema tiene una sola solución, en cambio si el año fuera 2014 hay tres soluciones (claro que en este caso Sebi y Julieta no serían seres humanos).
Cuales?

Para que año existen la mayor cantidad de soluciones?
y el primer año en el que no existen soluciones?

1223 - Tercera variante del problema 1219

Usando los dígitos del 0 al 9 una sola vez cada uno, y todas las operaciones que uno quiere, que repunits se pueden formar?

Aquí van los dos primeros:

1 = 0+1+2+3+4-5+6+7-8-9
11 = 0+1+2+3-4+5-6-7+8+9

1222 - El 21 de septiembre y otras fechas curiosas

Mañana es 21 septiembre, día de la primavera aquí en el hemisferio sur.
Esta fecha escrita en español presenta la curiosidad de tener exactamente veintiuna letras:
VEINTIUNO DE SEPTIEMBRE.

A lo largo del año son varias las fechas que dicen cuantas letras tienen:

1. 11 de enero
2. 14 de enero
3. 16 de enero
4. 17 de enero
5. 15 de febrero
6. 18 de febrero
7. 19 de febrero
8. 11 de marzo
9. 14 de marzo
10. 16 de marzo
11. 17 de marzo
12. 11 de abril 
13. 14 de abril
14. 16 de abril
15. 17 de abril
16. 10 de mayo
17. 11 de junio
18. 14 de junio
19. 16 de junio 
20. 17 de junio
21. 11 de julio
22. 14 de julio
23. 16 de julio
24. 17 de julio
25. 12 de agosto
26. 13 de agosto
27. 21 de septiembre
28. 24 de septiembre
29. 15 de octubre
30. 18 de octubre 
31. 19 de octubre

En tanto que este año las siguientes fechas indican la cantidad de letras de la frase:

TREINTA Y UNO DE ENERO DE DOS MIL TRECE
TREINTA Y UNO DE MARZO DE DOS MIL TRECE
TREINTA Y UNO DE JULIO DE DOS MIL TRECE

Para el año que viene:

TREINTA DE AGOSTO DE DOS MIL CATORCE

1221- Segunda variante del problema 1219

En esta ocasión, en vez de tres unos y tres ceros, podemos usar los diez dígitos del 0 al 9.
Entre los resultados posibles,  
¿Números de cuantas cifras se pueden obtener?
Ejemplos:
1 cifra   : 1 = 1+2+3+4-5+6+7-8-9
2 cifras : 45 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9
3 cifras : 396 = (1+2+3+4+5+6+7+8) x 9

¿Cuál es el menor y el mayor número que se puede obtener para cada cantidad de cifras?
Por ejemplo para una cifra podemos obtener el uno y el nueve de la siguiente manera:

1 = 1+2+3+4-5+6+7-8-9
9 = 1+2-3+4+5+6-7-8+9

1220 - Primera variante del problema 1219

Una vez que resolví el problema anterior, seguí jugando con los tres unos y los tres ceros y obtuve entre otros estos resultados:

1 + (0x1) + (0x1) + (0x1) =      1
10 + (110 x 0)                 =    10
100 + (11 x 0)                =   100
...etc

Es decir que entre los muchos resultados posibles hay números con 1, 2 y 3 cifras.
La pregunta parece obvia : ¿Usando tres unos, tres ceros y todas las operaciones que uno quiera, cuales son las cantidades de cifras que pueden tener los resultados? ¿Cuál es la menor cantidad de cifras que no se puede obtener? 

1219 - Un problema que genera otro problema que genera otro...

Muchas veces me preguntaron como se me ocurren los problemas que publico en el blog.
La respuesta es la siguiente: la mayoría  se me ocurre tratando de resolver otros problemas.


El siguiente problema es de Andre Jouette y está en el libro El secreto de los números.
El problema original dice así: 
¿Cuál es el mayor número que se puede formar usando tres unos y tres ceros?
Este es un problema simple y que por prueba y error se resuelve, claro que si uno lo hace con lápiz y papel va obteniendo distintos resultados y es ahí cuando se me ocurre las variantes que iré publicando esta semana.
Les dejo este para el día de hoy.

Como en el enunciado el autor no aclara que es válido usar, uno puede usar lo que quiera ( suma, multiplicación, potenciación, paréntesis, etc)

1218 - Sin el siete

Los tres hermanos Seven tienen edades diferentes que no comparten dígitos entre sí, tampoco lo hacen su suma ni su producto y entre esos cinco números están todos los dígitos una vez cada uno con excepción del siete.

¿Qué edades tienen lo hermanos Seven?

1217 - La magia del 2013

El otro día vi esta expresión:

2013 x 166 x 009 x 69  x  (4 + 4) = 1660096944 

¿Quién se anima a encontrar alguna similar?

1216 - Vuelve todo vuelve (?)

Tomemos cualquier número mayor a 10 y que no tenga ceros
Obtengamos su raíz digital
Coloquemos este número adelante del original
Eliminemos el último dígito.
Repitamos el proceso hasta volver obtener el número original

Ejemplo para, 11 :
Raíz digital (o resto al dividir por 9)  = 2
Colocamos el número al comienzo = 211
Eliminamos el último dígito = 21
Como no es 11 repetimos el proceso hasta obtener 11 :
Así obtenemos
11, 21, 32, 53, 85, 48, 34, 73, 17, 81, 98, 89, 88, 78, 67, 46, 14, 51, 65, 26, 82, 18, 91, 19, 11
Es decir que después de 24 repeticiones obtenemos el 11 de nuevo.

Preguntitas:

¿Hay algún número que no vuelve?
¿Hasta el 999999999 cual es el menor número al que hay que aplicarle mas repeticiones para que vuelva?

1215 - Problema de edad

Aldo, Bernardo y Claudio están comparando sus edades.
Aldo y Claudio tienen edades impares y de dos dígitos
La edad Bernardo es un porcentaje (entero) mayor que Aldo y el mismo porcentaje menor a Claudio

¿Qué edad tiene cada uno?
¿Hay una sola solución?
Un problema de Robin Nayler

1214 - Super cuadrados

La siguiente curiosidad la vi en internet, no sé quien tiene el mérito de haberla encontrado:

¿Qué características tienen estos tres números de doce dígitos?

100307124369
111824028801
433800063225

Fácil son tres números cuadrados :

100307124369 = 316713²
111824028801 = 334401²
433800063225 = 656635²

pero además, la suma de sus dígitos también es un cuadrado:

1+0+0+3+0+7+1+2+4+3+6+9 = 36 = 6²

1+1+1+8+2+4+0+2+8+8+0+1 = 36 = 6²

4+3+3+8+0+0+0+6+3+2+2+5 = 36 = 6²

y si los sumamos de a dos dígitos

10+03+07+12+43+69 = 144 = 12²

11+18+24+02+88+01 = 144 = 12²

43+38+00+06+32+25 = 144 = 12²

o de a tres:

100+307+124+369 = 900 = 30²

111+824+028+801 = 1764 = 42²

433+800+063+225 = 1521 = 39²

o de a cuatro:

1003+0712+4369 = 6084 = 78²

1118+2402+8801 = 12321 = 111²

4338+0006+3225 = 7569 = 87²

o de seis

100307+124369 = 224676 = 474²

111824+028801 = 140625 = 375²

433800+063225 = 497025 = 705²

1213 - Dividiendo las pesas

Teníamos un set de 101 pesas que va desde 1 gramo hasta 101 gramos.
Lamentablemente hemos perdido la pesa de 19 gramos.

La pregunta es la siguiente, ¿Es posible dividir las 100 pesas en dos grupos tal que cada grupo pese lo mismo y tenga el mismo número de piezas?

Un problema de Proizvolov

1212 - El máximo múltiplo de seis que no se puede formar como suma de dos números medios de primos gemelos

Eso, el título es el problema de hoy
Aparentemente todo múltiplo de seis mayor a X puede expresarse como suma de dos números que están en el medio de un par de primos gemelos.

Ejemplos :

24 = 6 +18 y 6 está en el medio del par 5-7, y 18 entre 17-19
30 = 12 + 18  y 12 está en medio de los primos gemelos 11-13
36 = 6 +30 y 30 está entre 29-31
El primer múltiplo de seis que no puede expresarse de dicha forma es 96.

Encontrar ese número X

1211 - Año nuevo

Hoy la comunidad judía festeja el año nuevo, el 5774

Aprovecho para desearles a todos un shana tova.

Aquí va un problema relacionado con los años (similar al que publiqué en el 2010)  

Estamos en el año 2013 de la era cristiana, en el 5774 de la era judía y en el 1392 de la era islámica. 

¿Cómo podemos  igualar estos números?

Una forma sería multiplicando dos de estos números por un tercero para así obtener dos productos los cuales sean uno un anagrama del otro 

anagrama = tienen los mismos dígitos pero en otro orden

Entonces:

a) ¿Cuál es el menor número por el que hay que multiplicar el 2013 y el 5774 para obtener dos números los cuales son uno un anagrama del otro?

b) ¿y para el 1392 y el 2013?

c) ¿y para el 1392 y el 5774?

1210 - El 373

El número 373 presenta la particularidad que puede expresarse como la suma de cinco primos consecutivos y como la suma de los cuadrados de cinco primos consecutivos

373 = 67 + 71 + 73 + 79 + 83
373 = 3² + 5² + 7² + 11² + 13²

Este ejemplo fue encontrado por Hans Havermann

Buscamos otros casos de números iguales a la suma de cinco primos consecutivos y a la suma de los cuadrados de cinco primos consecutivos

1209 - Uno facilito

 El número 200920092009...2009 tiene 2008 dígitos.

¿Cuál es la menor cantidad de dígitos que debemos sacar de este número para que la suma de los que quedan sea exactamente 2008?

Un problema de las olimpiadas matemáticas brasileras

1208 - El mas largo que

Aquí va otro problema de Puzzle up
Buscamos números :
- en el que cada dígito aparezca como mucho dos veces (es decir que un dígito pude aparecer, cero, una o dos veces en el número) 
y 
- la suma de cada cuatro números vecinos es un cuadrado

Ejemplo : 106210, ya que 1+0+6+2, 0+6+2+1 y 6+2+1+0 son números cuadrados y ningún dígito aparece mas de dos veces

Otros : 326532 y 28962806

Encontrar el mayor número  con estas características