1110 - ¿Cuántos circulos ves?

En la siguiente imágen, ¿Cuántos círculos ves?, Mira bien antes de contestar....

 

Esta imágen fue tomada de http://illusionoftheyear.com/2006/coffer-illusion/ es de Anthony Norcia, y fue una de la diez finalistas en al año 2006 en el concurso Best ilusión year contest

1109 - Ciudades números

En la Argentina existen muchas ciudades que tienen números en sus nombres:

• Primero de Mayo en  Entre Ríos
• Dos de Mayo en Misiones
• Tres Isletas en Chaco      
• Cuatro esquinas en Santa Fé y en Río Negro
• Cinco Saltos en  Río Negro 
• Seis de Septiembre  en  San Luis
• Siete Palma  en  Formosa
• Ocho Vados en  Catamarca
• 9 de Julio en  Buenos Aires
• 10 de Julio  en  Santa Fé
• 11 de Septiembre  en Buenos Aires
• 12 de Octubre  en Buenos Aires (en 9 de Julio) 

El primer número que yo no encontré en el nombre de una ciudad es el trece.

¿Que números figuran en las ciudades de tu país?
¿Cuál será el primer número en no figurar en el nombre de algún lugar? Por ahora tomo el 13.
¿y el número mas grande? en Argentina encontré 25 de mayo, en E.E.U.U hay un pueblo llamado hundred (100)

En la Argentina no encontré nombres de ciudades/pueblos  que sean solo números. En EEUU hay por lo menos ocho, como vemos en este artículo 8 towns that are Numbered (Curiosamente todos números pares)

1108 - Multiplicando primos

¿Cuantos pares de primos que suman 10000, dan un número sin digitos repetidos al multiplicarse entre si? 


Ejemplo : 
59 +9941 = 10000 y 59 x 9941 = 586519 el cual no tiene todos los dígitos diferentes

1107 - El primo #x es x

En base 10  el primer primo (#1) es el 2, #2 es el 3, #3 es el 5, etcétera.

¿En que base hay primos tales que #x = x?

1106 - Menor impar que

¿Cuál es el menor número impar n cuya suma de divisores (incluido el 1 y el mismo número n) dividido n es mayor a 3?

Ej para el 735 la suma de los divisores (sigma1) es 1368 y 1368/735 es 1.86 que no es mayor a 3 

1105 - Conjetura sobre los primos

El otro día leí que todo primo salvo algunos pocos, pueden expresarse como la suma de tres números que al multiplicarse dan como resultado un cubo

Ejemplo :
2011 = 3 + 64 + 1944    y   3 x 64 x 1944 = 373248 = 72³  

Preguntas :  
¿Cuáles son los primos que no cumplen?
¿Alguien puede demostrar si es verdadera o falsa la conjetura? ¿Cuales serían los números para el 2017? ¿Cuántos resultados distintos se pueden lograr?

1104 -Otros como 32768

Al  número 32768 lo podemos dividir en dos números de dos y tres cifras respectivamente, luego si elevamos el primero al cubo y el segundo al cuadrado y los sumamos, obetenemos un múltiplo de 32768

32768  - - -  32 // 768 - - - 32³ + 768² = 622526 = 32768 x 19


¿Cuantos números como este existen?

1103- Impresiona a tus conocidos con primos largos y fáciles de recordar

Los números primos siempre han fascinado a todos a los que les gustan las matemáticas. Dentro de los infinitos primos hay muchos que toman una forma curiosa y estéticamente son mas atractivos que otros. Además hay muchos que son fáciles de recordar, en esta entrada les mostraré algunos de los este tipo que encontré

a) Primos que resultan de la concatenación de los impares

135791113151719
135791113151719212325272931
135791113151719212325272931333537394143454749515355575961636567

b) Primos que resultan de sumar de a tres

Se empieza con un número y los siguiente son el resultado de sumar dicho número mas tres

14710131619
14710131619222528313437
47101316192225283134374043464952555861646770737679828588919497100103
58111417202326293235384144475053565962656871
8111417202326293235384144475053565962656871747780838689

c) Primos que resultan de sumar de a cinco

38131823
38131823283338434853586368737883

d) Primos que resultan de sumar 99

Empiezo con 2, lo concateno con 101, 200, etc (total 195 cifras)

210120029939849759669579489399210911190128913881487158616851784188319822081218022792378247725762675277428732972307131703269336834673566366537643863396240614160425943584457455646554754485349525051

e) Primos que resultan de sumar 100

Empezando con el 3 hasta el 3703 (140 dígitos)

31032033034035036037038039031003110312031303140315031603170318031903200321032203230324032503260327032803290330033103320333033403350336033703

Empezando con el 11 hasta el 5711(195 dígitos)

11111211311411511611711811911101111111211131114111511161117111811191120112111221123112411251126112711281129113011311132113311341135113611371138113911401141114211431144114511461147114811491150115111521153115411551156115711

f) Primos ascendentes
Empiezo por el 1 hasta el 9, luego se repiten del 1 al 0

123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901

Este número lo podemos representar (1234567890)₁₇ 1

Otros ejemplos usando esta notación
(2345678901)₈ 23
(2345678901)₁₁ 23456789
(2345678901)₁₅ 23456789

(3456789012)₁₇ 345678901

4567
45678901
(4567890123)₁₉ 4567

56789012345678901234567890123

678901
6789012345)₃ 678901
(6789012345)₁₂ 67

78901
789012345678901
(7890123456)₅ 7

(8901234567)₈89
(8901234567)₁₅ 89

9012345678901
(9012345678)₂ 901234567
(9012345678)₄ 901

_g) Primos descendientes

109
10987
1098765432)₃ 10987
(1098765432)₁₃ 109876543
(1098765432)₁₅ 109 
(1098765432)₂₅ 109 Este tiene 253 dígitos

(4321098765)₆ 4321

(4321098765)₁₇ 432109

h) Primos capicúas

123424321
12345254321
1234562654321
(1234567890)₇₀ 2 (0987654321)_{70  Con 141 dígitos}

123456737654321
(1234567890)₃ 1234 3 4321 (0987654321)₃

12421
12345678487654321
1234567894987654321
123456789012343210987654321
(1234567890)₂4(0987654321)₂

1235321
1234565654321

12721

12821
123484321
12345854321
123456789012345678901282109876543210987654321
123456789012345678901234585432109876543210987654321
(1234567890)₈ 12345854321 (0987654321)₈

123494321
123456797654321
12345678901234567976543210987654321

y por último un capicúa de 211 dígitos todos impares :

(13579)₂₁ 1 (97531)<sub>21

Esta entrada forma parte de la edición 4.12 del carnaval de matematicas que en esta ocasión organiza High Ability Dimension</sub>

 

1102 -71 al cubo

¿Que tiene de curioso 71³?

¿Habrá otras potencias que generan números parecidos a este?

1101 - Palabras en Pi

El "Doctor Matrix" personaje ficticio creado por Martin Gardner solía decir que, interpretado correctamente al número π se podría leer toda la historia de la humanidad.
En este artículo  llamado Pi code, escrito en inglés, dan algunos resultados de mirar π en una relativamente nueva manera: como una cadena infinita de letras derivadas de su expansión en base 26 o en base 27.

Para expresarlo en base 26 lo que se hace es calcular pi en base 26 y luego reemplazar cada numero por una letra  tomando 0=A, 1=B, 2=C, ... 25=Z

usando este método los primeros 100 dígitos de Pi lucirian así :

D.DRSQLOLYRTRODNLHNQTGKUDQGTUIRXNEQBCKBS
ZIVQQVGDMELMUEXROIQIYALVUZVEBMIJPQQXLKPLR
NCFWJPBYMGGOHJMMQISMS.

 Las letras resaltadas en color marcan las palabras que encontré en español. En el artículo mencionan varias palabras de hasta seis letras encontradas en Pi usando este método.
Invito a quien sepa como convertir Pi por este método a que busque palabras en él.

En esta otra página  usan un método parecido que permite buscar cualquier palabra entre los primeros 31415929 (¿les suena este número ?) dígitos de pi . Así por ejemplo yo busqué NUMERO y aparece en la posición 8575930 eso indica que 

 
 Claro que con esta entrada me sumo a los festejos por el día de Pi, que se celebra hoy 14 de Marzo

1100 - Capicúa dividido al cuadrado da capicúa

Veamos el siguiente número capicúa:

113311

Si lo dividimos por la mitad obtenemos dos números que al juntar sus cuadrados obtenemos otro capicúa :

113² = 12769
311² = 96721

y


1276996721  es capicúa.

Otros ejemplos no triviales? 
Se esperan aportes

1099 - Buscando al mayor con n dígitos y n factores primos

El número 34 tiene dos dígitos, es igual al producto de dos factores primos  y no es divisible por ningun número cuadrado: 24 = 2 x17
 
El número 138 tiene tres dígitos, es igual al producto de tres factores primos  y no es divisible por ningun número cuadrado: 138 = 2 x 3 x 23

El número 1110 tiene cuatro dígitos, es igual al producto de cuatro factores primos y no es divisible por ningún número cuadrado : 1110 = 2 x 3 x 5 x 37  

¿Cuál es el mayor número que tiene n dígitos y es el producto de n primos y no es divisible por ningun cuadrado?

1098 - Primos con dígitos en forma ascendente

En base 10 el mayor primo con los dígitos en forma ascendente es 23456789 

Y en otras bases mayores a diez?

Pd: en base 11 hay 115 de estos primos, en base 12 312 y en base 13 272.

1097 - La suma de tres cuadrados que dan cuadrados

Tito y Sofía son un matrimonio al que les gusta las matemáticas.
Este año se dieron cuenta que :

• 2013² + 2014² + A²
• 2013² + 2014² + B²
• 2013² + 2014² + C²
• 2013² + 2014² + D²

 
^{eran  todos números cuadrados perfectos.}

Donde  
A = (2013² + 2014² - Edad de Tito²)/ (2 x Edad de Tito) 
B= (2013² + 2014² - Edad de Sofía²)/ (2 x Edad de Sofía) 
C = (2013² + 2014² - Años de casados²)/ (2 x Años de casados)
D = (2013² + 2014² - Altura de la calle donde viven²)/ (2 x Altura de la calle donde viven)


Si Tito es mas grande que Sofía, diganme lo que ustedes ya se imaginan

1096 - Primos cercanos a factoriales

Si a 3! le restamos o le sumamos uno, obtenemos un número primo, siendo estos los primos mas cercanos a 3! por defecto o por exceso

3!  - 1 = 6 - 1  = 5 primo
3! +1 = 6 + 1 = 7 primo

En cambio los dos primos mas cercanos a 5! por exceso y por defecto, están los dos a 7 unidades de distancia

5! - 7 = 120 -  7 = 113 primo
5! +7 = 120 + 7 = 127 primo

Si a 10! le restamos y le sumamos 11, obtenemos los dos primos por defecto y por exceso mas cercanos a 10!

10!  -  11 = 3628800  - 11 =  3628789 primo

10! + 11 = 3628800 + 11 =  3628811 primo

Otros ejemplos?
 
Yo busqué hasta 400! y encontré solo otros cuatro factoriales en los cuales los primos mas cercanos estan a la misma distancia por abajo y por arriba de ellos
  
¿El número que se resta y se suma al factorial debe ser siempre primo para obtener números primos?

1095 - En la fiesta de los números

- El otro día fui a la fiesta en la casa del cero  - dijo el 7
- ¿y que tal estuvo?
- Buenísima,  asistieron todos los números enteros..
- ¿y como se divirtieron?  
- El cero hizo de  mago y nos hizo el siguiente truco,  en primer lugar dividió a los números del 1 al 8 en dos grupos.
- Eso es muy difícil
 - Espera,  en seguida nos dijo que esos dos grupos, A y B, tenian tres cosas iguales, en primer lugar cada grupo tenía la misma cantidad de númerosque el otro, o sea cuatro
- Uhhh , qué difícil...
- Espera, después nos dijo que la suma de los números del grupo A era igual a la suma de los números del grupo B
- Uhhh , qué difícil...
- No tontito, sé que eso es fácil, pero al final nos dijo que la suma de los cuadrados de los números del grupo A era igual a la suma de los cuadrados del grupo B
- Ah bueno, eso lo tengo que pensar.
- y después para terminar nos dijo que hiciéramos exactamente lo mismo, pero con los números del 1 al 12 
-  y pudieron?
-Si, después de pensarlo un rato lo hicimos y le preguntamos si lo podiamos hacer lo mismo con mas números, pero vino el baile y no nos contestó
 

1094 - Solución a la entrada 1091

Pongo aquí la solución para la entrada 1091 otro problema de sombreros II

Pensemos en primer lugar la mejor táctica para tres presos.
Las ocho posibles combinaciones son:

NNN
NNR
NRN
RNN
RRN
RNR
NRR
RRR

Estrategia para cada preso:

•  Pasar, si los sombreros que ve son de distinto color  
•  Decir el color contrario cuando ve dos sombreros del mismo color

 Usando esta estrategia se salvarian en 6 de los 8 casos (solo moririan si los 3 sombreros son del mismpo color) o sea que la probabilidad de salvarse es del 75%.
Hay que notar que en los casos en los que fallan, TODOS los presos arriesgan y TODOS se equivocan. Esto es fundamental para entender la estrategia, las seis veces que se equivocan entran en solo dos de las configuraciones, es decir que la única forma de acertar es que las predicciones equivocadas se usen con la misma configuración de sombreros.
Para n jugadores, lo ideal es duplicar este hecho y tener dos configuraciones,
-  "Buena", en la cual solo un jugador arriesga y acierta, y
-  "Mala", aquella en la que todos arriesgan y todos se equivocan,
si esto se da la probabilidad de ganar es n/n+1.

Esta configuracion óptima solo se logra si n+1 divide el total de las configuraciones 2^n, lo que indica que n debe ser uno menos que la potencia de 2.
Veamos el ejemplo de 15 presos, se le asigna a cada uno de ellos un número binario :

0001 0010 0011 0100
0101 0110 0111 1000
1001 1010 1011 1100
1101 1110 1111

Es importante entender que estas etiquetas se tratan como "nimbers" y no como números, es decir que cuando se los suma, se lo hace sin acarreo, o sea que si la cantidad de unos en la columna es par la suma da cero, y si es impar da uno.
Ejemplos:

0010              0001 
1110 +            1111 +
1010              1010
------             ------
0110              0100

Las malas configuraciones se daran en los casos en que la suma de las etiquetas de los que tienen sombreros rojos da 0000.

La estrategia es la siguiente :

• Cada preso suma las etiquetas de los que tienen puesto sombreros rojos
• Si la suma le da 0000, debe arriesgar que él mismo tiene sombrero rojo
• Si en cambio la suma le da su propio número, arriesgará que tiene puesto un sombrero negro
• Si la suma no le da 0000 ni su propio número, pasará.

Porque funciona?
Supongamos que la suma de los sombreros rojos da efectivamente 0000.
En este caso a todos los que tienen sombreros negros, la suma les dará 0000 y arriesgaran que tienen puestos sombreros rojos, en tanto que a los que tienen puestos sombreros rojos la suma les dará su propio número y arriesgaran que tienen puesto un sombrero negro.
Es decir que  todos los presos arriesgan y todos se equivocan!

En cualquier otro caso, por ejemplo si la suma de los sombreros rojos diera 0101, el único preso que arriesgará es el que tiene el número 0101 y acertará.
Es importante notar que la suma puede dar 0101, teniendo el preso con la etiqueta 0101 un sombrero rojo o un sombrero negro y que en ambos casos acertará:
Ejemplo en el que la suma da 0101 y el que tiene dicha etiqueta tiene un sombrero rojo:


0101
0100
0110
0010
------
0101





En este caso los que tienen sombreros negros pasaran ya que ninguno tiene la etiqueta 0101, en tanto que el que lo tiene es el único al que la suma le da 0000 (y por lo tanto dirá rojo y acertará):
El ve :

0100
0110 +
0010
-----
0000

Ejemplo en el que el preso que tiene el 0101 tiene sombrero negro y la suma de los que tienen sombreros rojos da 0101

0001
0110
0010
-----
0101

En este caso el que tiene la etiqueta 0101 dirá que tiene sombreo negro y acertará , los que tienen sombrero rojo  la suma no les de en ningun caso 0000

La probabilidad de que la suma de los sombreros rojos de 0000 es exactamente 1/16 (hay 16 sumas posibles), entonces la estrategia gana con una probabilidad de 15/16 

1093 - Buscando las últimas cifras

¿Cuáles son las dos últimas cifras de este número?

1092 - Número especial

Soy un numero especial, si me restas 1 doy un múltiplo de 2, si me restas 2 doy un múltiplo de 3, si me restas 3 doy un múltiplo de 4, si me restas.... n soy múltiplo de n+1

¿Quien soy?