877 - Invirtiendo los dígitos

Quico  tenía que multiplicar un número A de tres cifras por otro número B de dos cifras, pero cuando copió el número B en su cuaderno invirtió los dígitos de este, es por eso que la cuenta le dio 2034 mas que el valor verdadero.


a) ¿Cuál era el número A, si los dígitos de B eran consecutivos?
 b)¿Cuál era el número A, si los dígitos de B no eran consecutivos? 


Adaptado de un problema de las olimpiadas Sudamericanas

876 - ¿Cuál de estos personajes de ficción es el que mas necesita un seguro de vida?

En el año 2005 la fundación LIFE de EEUU hizo una encuesta entre 1014 personas adultas a las que se les preguntó:


¿Cuál de estos cinco personajes de ficción es el que mas necesita sacar un seguro de vida?

1. Batman
2. Pedro Picapiedra
3. Harry Potter
4. Marge Simpson
5. Spiderman (el hombre araña)

La persona podía elegir alguno de los personajes o decir no sé.
Según el estudio, 3 de cada 4 personas no supieron contestar quien de estos personajes estaba mas necesitado de sacar un seguro de vida.


¿A quien elegirían ustedes y porque?

En la encuesta se obtuvo lo siguiente :
Spiderman 28%
Batman 18%
Pedro Picapiedra 16%
Harry Potter 15%
No sabe 12%
Marge Simpson 11%




La respuesta correcta (y mas lógica) es Pedro Picapiedra, ya que tiene una edad media, es el sostén de la familia y tiene hijos pequeños. 




La segunda opción sería Marge Simpson, que si bien no mantiene a la familia, tiene hijos pequeños y el marido no gana muy bien que digamos. 


Batman que si bien tiene un trabajo riesgoso, es multimillonario y soltero así que no tiene mucho sentido que saque un seguro de vida, Harry Potter es un adolescente que no debe mantener a nadie, y lo mismo pasa con el hombre araña. 


Visto en el blog de Presh Talwalkar

875 - Número

Si a cada letra de la palabra número la reemplazamos por su ubicación en el alfabeto obtenemos:


N     U    M     E    R     O
14   21   13    5   19   16 


El desafío es manteniendo estos números en su misma posición lograr expresiones matemáticas (usando +,  -, x  y / ) para lograr la mayor cantidad posibles de números distintos


 Aquí van algunos ejemplos:


2  = -14 + 21 - 13  +   5 + 19 - 16  


3  = (14 - 21 + 13) /  (5 - 19 + 16) 


4  =  14 - 21 + 13  -   5 + 19 - 16  






La siguiente expresión forma el uno pero no es válida porque los números no mantienen su posición:


1 =  14 + 21 - 13  +  (19 + 16) / 5


¿Se podrá encontrar expresiones para formar todos los números de uno al cien?


5809440 (14*21*13*5*19*16) es el mayor número que se puede formar,  ¿Cuál es el mayor número entero que se puede formar menor a 5809440?

874 - Rebus matemático III

¿A dónde va Wainrach el fin de semana?

Pd : El personaje de la foto se llama Sebastian Wainrach, pero el rebús funciona con cualquier  Sebastian o mejor dicho con su apódo.

873 - Animación con el zoom mas profundo al Conjunto de Mandelbrot

Vídeo sobre la animación con el zoom mas profundo al Conjunto de Mandelbrot, 10^275 (2.1E275 o 2^915), para quedarse hipnotizado por cinco minutos



 

872 - El ascensor roto

El edificio mas alto de la ciudad tiene 64 pisos, pero el ascensor se descompuso, solo funcionan dos botones el 8 y el 11.
Cuando se aprieta el botón 8 el ascensor sube ocho pisos (siempre que se pueda, sino el ascensor no se mueve)
Cuando se aprieta el botón 11 el ascensor baja once pisos (siempre que se pueda, sino el ascensor no se mueve)

Así por ejemplo saliendo de planta baja, se necesita un solo paso para ir al octavo piso, dos para ir al 16 (8-16), y tres para ir al 24 o al 5 (8-16-5)

  ¿Cuál es el piso para el que hay que hacer mas pasos cuando salimos de la planta baja?

871 - Fecha capicúa

Hoy es veintiuno de febrero de dos mil doce o sea :

 21022012


ó

5255503/2500

870 - Como obtener ecuaciones multigrados

El otro día publiqué esta igualdad:

14ⁿ + 16ⁿ + 45ⁿ + 54ⁿ + 73ⁿ + 83ⁿ = 3ⁿ + 5ⁿ + 28ⁿ + 34ⁿ + 65ⁿ + 66ⁿ + 84ⁿ

^{Esta igualdad se da para n = 1, 2, 3, 4, 5, 6}

que tuvo mucha repercusión gracias a que el blog de matemáticas Gaussianos publicó un enlace a dicha entrada. Como mucha gente se sorprende al ver este tipo de igualdades daré una breve explicación de como lograrlas basado en un método que publicó Brian Bolt en su libro actividades matemáticas.

En primer lugar, buscamos una igualdad que tenga dos términos por lado, por ejemplo:

(1)  1+8 = 3+6

Lo que hacemos ahora es sumar un mismo número a cada número que aparece en la igualdad, sumemos por ejemplo cuatro, así (1) se transforma en

(2) 5+12 = 7+10

Lo que hay que hacer ahora es invertir esta igualdad y sumarla a la anterior:

                  7+10  =  5+12
              +
                   1+8  =  3+6  
     -----------------     ------------------
(3) 1n+7n+8n+10n = 3n+5n+6n+12n

Esta ecuación (3) es lo que se llama una ecuación multigrado de grado 2, ya que
la igualdad se cumple para n=1 y para n=2
Efectivamente
para n = 1: (4)     1+7+8+10  = 3+5+6+12      =  26
para n = 2:      12+72+82+102 = 32+52+62+122  = 214

Si queremos obtener una ecuación multigrado de grado 3, solo tenemos que repetir la operación anterior, es decir sumar a cada número de (4) un mismo número invertir los términos del resultado y sumar las dos igualdades.

Sumemos a cada número de (4) por ejemplo el seis, así .
(4) 1+7+8+10  = 3+5+6+12
pasa a ser
(5) 7+13+14+16 = 9+11+12+18
invertimos (5) y la sumamos a (4) .

(4)                  1+7+8+10       =  3+5+6+12
                      9+11+12+18  =  7+13+14+16
------------------------------------ ---------------------------------

(6) 1+7+8+9+10+11+12+18 =  3+5+6+7+12+13+14+16
En este caso vemos que a ambos lado de (6) aparecen el 7 y el 12, por lo tanto los podemos eliminar y nos queda :

(7) 1+8+9+10+11+18 =  3+5+6+13+14+16
Que es una ecuación de grado 3 o sea :
(8) 1n+8n+9n+10n+11n+18n =  3n+5n+6n+13n+14n+16n  para n=1,2,3
Efectivamente si n =1 la suma da 57, para n= 2 da 691 y para n=3 la suma da 9405

Este proceso se puede repetir una y otra vez para obtener ecuaciones de grado mayores como la que aparece en la entrada 864.

Ahora bien ¿porque funciona el método?, yo solamente lo voy a demostrar para le ecuación de grado 2, dejo para que otros lo demuestren para grados mayores :

Partimos de
(1) a+b = c+d, a cada número de esta ecuación le sumamos un mismo número x, así

(2) (a+x) + (b+x) = (c+x) + (d+x)

Invertimos (2) y se lo sumamos a (1)

(3) a+b+(c+x) + (d+x) = c+d +(a+x) + (b+x)
Hay que demostrar que (3) es una ecuación multigrado de grado 2 o sea que :
an+bn+(c+x)n + (d+x)n = cn+dn +(a+x)n + (b+x)n para n = 1,2

Para n = 1
a+b+(c+x) + (d+x) = c+d +(a+x) + (b+x) o sea que
a+b+c+d+ 2x = a+b+c+d +2x

Para n=2
a2+b2+(c+x)2 + (d+x)2 = c2+d2 +(a+x)2 + (b+x)2
Desarrollando los cuadrados :
a2+b2+c2+2cx+x2+d2+2dx+x2 = c2+d2+a2+2ax+x2+b2+2bx+x2
reordenando y eliminando los términos que se repiten a ambos lados de la ecuación
2cx +2dx = 2ax + 2bx
2x(c+d) = 2x(a+b) y según (1) a+b=c+d, nos queda
2x = 2x que evidentemente es una igualdad

Como ven no es díficil obtener este tipo de ecuaciones, lo díficil es obtener una de grado muy alto que tenga pocos términos por lado. 

Casualmente el otro día apareció una de grado ocho en el blog Futility Closet.

Esta entrada forma parte de la edicióm 3.1 del  Carnaval de matemáticas que en esta ocasión organiza Scientia potentia est

869 - Rebus matemático II

¿Que hizo Rubik?

868 - Probabilidad de vivir algunos añitos mas

- El otro día un vendedor de seguros me dijo que al tener yo 75 años la probabilidad de que viva al menos 10 años mas, es del 50%, y la de que viva al menos 15 años mas es del 20%
- A mi, que tengo 80 años, me dijo que la probabilidad de que viva 10 años mas es solo del 25%, pero  mi esposa quiere saber cuál es la probabilidad de que viva al menos 5 años mas. 
- Ya te lo calculo





Basado en un problema del  Euclid Contest 

867 - Pandigitales especiales

5630924187 es un número pandigital especial, es pandigital porque tiene los diez dígitos una sola vez cada uno y es especial porque aparecen los productos de cualesquiera dos dígitos consecutivos que están presentes en él .


Así aparecen como cadena dentro de este número : 30(5x6), 18(6x3), 0(3x0), 0(0x9), 18(9x2), 8(2x4), 4(4x1), 8(1x8) y el 56(8x7)  


¿Cuál es el menor de estos pandigitales?  ¿Cuál es el mayor?

866 - El número de cuatro cifras que mas primos genera

¿Cual es el único número de 4 cifras al que si le anteponemos los dígitos del 1 al 9 genera 6 primos?

Por ejemplo el 1283 genera cinco primos: 21283, 51283, 61283, 81283 y 91283, ya que 11283, 31283, 41283 y 71283 son compuestos.
En tanto que 1041 genera solo un primo :  81041.

865 - Rebus matemático I

¿Qué hace pitágoras?

864 - Una Maravillosa igualdad

14ⁿ + 16ⁿ + 45ⁿ + 54ⁿ + 73ⁿ + 83ⁿ = 3ⁿ + 5ⁿ + 28ⁿ + 34ⁿ + 65ⁿ + 66ⁿ + 84ⁿ

^{Esta igualdad se da para n = 1, 2, 3, 4, 5, 6}

Encontrado por Philippe Fondanaiche

863 - Problema de las Olimpiadas Brasileras

Dado un número natural N, multiplicamos todos sus dígitos, repetimos este procedimiento hasta que quede un solo dígito al cual llamamos primitivo de N.


Por ejemplo para 327:
3x2x7 = 42, y 4x2 =8. Por lo tanto el primitivo de 327 es 8.


Calcular la suma de los dígitos del mayor número natural con todos los dígitos diferentes cuyo primitivo sea impar.




Problema de las Olimpiadas Brasileras

862 - Cumpliendo en vacaciones II

- ¿Y que tal el cumpleaños ?
- Bien, vino mas gente de la que creía.
- ¿Cuántos fueron?
- Mirá para que tengas una idea, en un momento, el cumpleañero Gustavo fue a buscar la torta y la probabilidad de que ninguna de las personas que estábamos en el patio haya nacido en enero  y febrero era del 1%.

861 - Cumpliendo en vacaciones I

- Hoy es el cumpleaños de mi hijo Gustavo
- Felicidades!
- Gracias, este año se lo celebramos el mismo día de su cumpleaños, cuando era chico como su cumpleaños cae en fecha de vacaciones escolares se lo festejábamos en  Marzo, cuando empezaban las clases.
- Siempre el mismo problema con los que cumplen en vacaciones.
- Justamente ese es el problema de hoy.
- ¿ Festejar o no festejar ?
- No, no, quería saber, suponiendo que la probabilidad de nacer cualquier día del año es la misma, 
¿Cuál es la probabilidad de que una persona  haya nacido en enero o febrero? (en % con dos decimales)










Pd: Feliz cumple Gus! 
Pd 2 : A ver si lo resolvés!

860 - Asombrosa igualdad con pi

Un nanosiglo son aproximadamente pi segundos




visto aquí

859 - Los últimos serán los primeros...

107769423558897243 x 4 -------------------------        431077694235588972

Se pueden ver mas ejemplos en la secuencia A166320

858 - Diez millones de números

- El otro día  me di cuenta de que si tengo dos dos , la suma me da igual que el producto, ya que 2+2= 2x2 = 4
- Sos un genio.
- No creo, porque a todos los que se los comenté me dijeron que ya lo sabían.
- Para mi sos un genio
- Después seguí buscando y encontré  diez números en los que su suma era igual a su producto.
- Genio !
- Bueno, gracias pero no es para tanto, los encontré en una revista. Eran ocho unos, un dos y un diez.
- A ver, suma = 8x1 + 2 + 10 = 20, producto = 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 2 x 10 = 20. Si, la suma es igual al producto, sos un genio!
- Claro que no me conformé y encontré que ocho unos y dos cuatros también tenían su suma igual a su producto.
- Ahá, y adonde querés llegar?,  me tengo que ir a ver el partido...
- Quería saber si podía encontrar  diez millones de números que tuvieran una suma igual a su producto
- Claro,  yo conozco por lo menos seis soluciones
- GENIO!

857 - Un enigma

E⁶ + (NI)³ + (GMA)² = EENNGG

Reemplazar cada letra por un número para que la expresión sea matemáticamente correcta