jueves, 30 de junio de 2011

719 - Los números brasileños



Un número
n se llama brasileño si dicho número puede escribirse con un solo dígito d repetido en una determinada base distinta a n-1.Así en base 10 los números 22, 333, y 66666 por ejemplo son números brasileros.
Otro ejemplos: el 31 en base 2 es (11111)
 2 , el 80 es (2222)3, y el 285 es (555)7 por lo tanto estos también son números brasileños.
Tomemos por ejemplo el 17. En las diferentes bases menores a 16, el 17 se escribe: (10001)2 = (122)3 = (101)4 = (32)5 = (25)6 = (23)7 =(21)8 = (18)9 = (16)11 = (15)12 = (14)13 = (13)14 = (12)15
Solo en la base 16, es donde el 17 se escribe con un solo dígito repetido (11)16. Pero esta base no cuenta ya que todo número n se escribe siempre (11)n-1 en la base n-1. En resumen, el número 17 no es brasileño.
Un poco más de detalle en la definición:
Un número n se dice brasileño si hay una base b (con 1 < b < n-1) en el que dicho número puede ser escrito como un solo dígito repetido.
Por ejemplo 1, 2, 3, 4, 5 y 6 no son brasileños, en cambio el
 7 = (111)2 y el 8 = (22)3 si son brasileños..
Los números de Brasil aparecieron en 1994, durante la Olimpiada Iberoamericana de Matemática, que tuvo lugar en Brasil. A los mexicanos les causó sensación al proponer al año siguiente " Un número n se dice brasileño [...]. Demostrar que 1994 es brasileño, y 1993 no lo es ". [El término "brasileño" se inventó después del hecho].

Pero entonces, 1994, es o no es brasileño?
No es divertido escribir 1994 en todas las bases de entre 2 y 1992 para ver si funciona, sería demasiado largo.

Para demostrar que un número n es brasileño, es suficiente encontrar los números enteros d, b y q (con q ≥ 1 y 1 ≤ m) tal que n = d (1 + b + b2 +...+ bq ) donde d es el número que aparece repetido en la base b
Vemos que d siempre divide a n, entonces d debe ser uno de sus divisores. 
Comenzamos haciendo una lista de todos estos divisores (d1 , ..., dk ), lo que da como mucho candidatos potenciales para d.
Para un divisor di debe cumplirse que (n / di) -1 = b (1 + b +...+ bq-1 )
Haciendo una lista de los divisores de (n/ di) -1 mayores a i se puede encontrar los números candidatos a ser iguales en b. 
No hay más que tratar de ver si un valor de q ≥ 1 nos da n/di = 1 + b +...+ bq  =
(bq+1-1) / (b-1)
Con el 1994
Los divisores de 1994 son 1, 2 y 997.

Para d = 1, debemos resolver 1993 = b(1 + b +...+ bq-1 ). Pero como 1993 es primo, por lo cual no hay solución posible.
Para d = 2, tenemos que resolver (1994/2 )-1 = 996 = b(1 + b +...+ b
q-1 ). 
Los divisores de 996 son 3, 4, 6, 12, 83, 166, 249, 332, 498, y 996.
 Con b = 3, tenemos que resolver 996/3 = (1 + 3 +...+ 3
 q-1 ) lo que no es posible
 Con b = 4, tenemos que resolver 996/4 = (1 + 4 +...+ 4
 q-1 ) tampoco es posible
 Con b = 6, 12, 83, 166, 249, 332 y 498, también es imposible.
 Con b = 996, por el contrario nos encontramos con 996/996 = 1 o sea que
1994 es un número brasileño porque 1994 = (22) 996
Bueno, en realidad era muy fácil, está claro que todos los números n pares mayores a 8 son números brasileños, ya que se escriben como 22 en la base (n / 2) -1 .
Utilizando el mismo tipo de razonamiento, se puede demostrar que 1993 no es un número de Brasil, y que si lo es el 1807 o que 2007 es brasilero de dos maneras diferentes 2009 = (77) 286 = (41.41) 48 
Y los números primos?
Los matemáticos tienen una mala costumbre, tan pronto como un nuevo tipo de número se inventa, se debe buscar cuál es su relación con los números primos (nunca se sabe si podrían proporcionar una nueva manera revolucionaria para generar nuevos números primos.)


El pequeño teorema de la primalidad de los números brasileros:
Si un número n> 7 no es brasileño entonces o es un número primo o es el cuadrado de un número primo.
Obviamente, lo contrario es falso, hay números primos que son brasileros (7, 13, 31 ...), y otros que no lo son (2, 3, 5, 11, 17, ...). Incluso hay números no primos que son brasileños (números pares) y números no primos que no son brasileros (2², 3², 5², 7², 13², ...).
Esto permite decir que hay un número infinito de números brasileños. 
No está claro sin embargo si existe un número infinito de primos brasileños ( ya que son más bien raros: sólo el 0,01% de los números primos menores a mil millones son brasileños ).
El teorema general de la primalidad de los números de los estados brasileños:
Si un número primo p  7 es brasileño, entonces se puede escribir en una base adecuada con un número primo impar de unos.
Lo contrario es obviamente falso: el número 111 (escrito en base 10 con un número primo de 1) no es primo (111 = 3x37).
Algunos teoremas y conjeturas a granel
(En muy variados niveles de dificultad)
* Un número de Fermat (de la forma 2
 n ^ 2) primo jamás es brasileño
* Un número de Fermat no primo sigue siendo brasileño
* Conjetura: Un número primo de Sophie Germain (si p y 2p+1 son primos) no es brasileño (verificado sólo los primeros 3000 números pSG )
* La serie de los inversos de los números primos brasileños es convergente (y se sitúa entre 0,32 y 1)
* Cualquier número entero puede ser escrito como la diferencia de dos números brasileros
* Conjetura: Sólo existen tres (o un número finito?) de potencias puras repunits que son números brasileños Sólo tres números corresponden a esta definición 121 = 11
2 = (11 111)3 , 343 = 73 = (111)18 y  400 = 20 2 = (1111)7 




Fuentes:
Bernard Schott, 

Les nombres brésiliens , Quadrature, no. 76, avril-juin 2010, pages 30-38. 2007 hay una serie de Brasil?  del mismo autor, pero la versión del foro mathematiques.net
Secuencia A125134 en la OEIS
En francés puede leerse el artículo de Bernard Schott
Este artículo esta basado en lo escrito en este blog


Esta entrada participa en la Edición 2.5 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Mago Moebius.
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718 - Números como la suma de 2011 números consecutivos

Supongamos que tenemos una lista ordenada de menor mayor, con los números enteros positivos que pueden expresarse como la suma de 2011 números consecutivos (no necesariamente positivos).


¿Cuál seria el número 2011 de esta lista?
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miércoles, 29 de junio de 2011

717 - La edad de una mujer

- Pero, ¿cuántos años tiene?
- Una mujer nunca dice su edad
- Pero vos la sabes, dame una pista... 
- Es muy fácil, ella me dijo que a si a su edad le sumas el número de su edad dado vuelta, obtienes un resultado que no tiene dígitos en común con el número original.
- Pero no me estas contestando... Hay muchas edades posibles
- Me olvidé de decirte que ni el año pasado, ni el que viene podrá decir lo mismo..
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martes, 28 de junio de 2011

716 - Números auto referenciales

A cada una de las letras del alfabeto las podemos relacionar con la secuencia de los números naturales estableciendo una correspondencia de forma tal que A=1, B=2, C=3, D=4, E=5, F=6, G=7, H=8, I=9, J=10, K=11, L=12, M=13, N=14, Ñ=15, O=16, P=17, Q=18, R=19, S=20, T=21, U=22, V=23.W=24. X=25, Y=26, Z=27
Si en los nombres de los números reemplazamos cada letra por este valor tenemos que UNO = (22,14,16), DOS = (4,16,20), TRES = (21,19,5,20), y así sucesivamente.
Estas secuencias de números, a su vez, pueden ser utilizadas para formar expresiones aritméticas.
Cuando el valor de la expresión es igual al número original, al número lo podemos llamar auto-referencial.
Aqui hay un ejemplo que yo encontré en español:

CINCO = (3,9,14,3,16) y -3+9-14-3+16 = 5



¿Si se puede utilizar cualquier operación matemática es posible encontrar otros ejemplos?
Basado en Numname



Actualización:

CERO (3,5,19,16) y 3*5-19+raíz(16) = 0 (Mmonchi)
UNO (22,14,16) y raíz(,22+,14)+raíz(,16) = 1 (Mmonchi)
DOS (4,16,20) y 4!-raíz(raíz(16))-20 = 2 (Mmonchi)
TRES (21,19,5,20) y -21+19+5^2-20 = 3   (Enrique Fernández)
CUATRO (3,22,1,21,19,16) y -3+22-1+21-19-16 = 4 (Pablo Sussi)
CINCO (3,9,14,3,16)   y   -3+9-14-3+16 = 5 (Claudio)
SEIS (20,5,9,20) y   20/5!*(raíz(9)!)!/20 = 6 (Mmonchi)
SIETE (20,9,5,21,5) y   -20+raíz(9)!-5+21+5 = 7 (Mmonchi)
OCHO    (16, 3, 8, 16)   y   16 - 3x8 +16 = 8 (Juan Luis)
NUEVE (14,22,5,23,5) y   14+22*5-23*5 = 9 (Mmonchi)
DIEZ (4,9,5,27) y   -raíz(4)-raíz(9)*5+27 = 10 (Mmonchi)
ONCE (16,14,3,5)   y   raíz(16)!-14+3!-5 = 11 (Mmonchi)
DOCE (4,16,3,5)   y   raiz(4*raiz 16)+3+5 = 12   (Pablo Sussi)
DOCE .(4,16,3,5)   y   4+16-3-5 = 12 (Juan Luis)
TRECE (21,19,5,3,5) y   21-19+5+(3!)!/5! = 13 (Mmonchi)
CATORCE  (3,1,21,16,19,3,5) y   -3+1+21-16+19-3-5 = 14 (Pablo Sussi)
QUINCE (18,22,9,14,3,5)   y   18+22-9-14+3-5 = 15   (Pablo Sussi)
DIECISÉIS  (4,9,5,3,9,20,5,9,20) y   4+9+5-3+9+20-5-9-20 = 16   (Pablo Sussi)
DIECISIETE (4,9,5,3,9,20,9,5,21,5)   y   4*9-5-3-9+20+9-5-21-5 = 17 (Pablo Sussi)
DIECIOCHO (4,9,5,3,9,16,3,8,16) y   -4*9+5-3+9+16+3+8+16 = 18   (Mmonchi)
DIECINUEVE (4,9,5,3,9,14,22,5,23,5) y -4+9+5+3+9-14-22+5+23+5 = 19 (Mmonchi)
VEINTE (23,5,9,14,21,5) y   -23+5*9+14-21+5 = 20 (Mmonchi)
VEINTI (23,5,9,14,21,9) -23+5*9-14+21-9=20 (Mmonchi)
TREINTA (21,19,5,9,14,21,1) 21+19+5-9+14-21+1=30 (Mmonchi)
TREINTA Y (21,19,5,9,14,21,1,26) -21+19+5+9+14-21-1+26=30 (Mmonchi)
CUARENTA (3,22,1,19,5,14,21,1) y   -3+22+1+19-5-14+21-1 = 40   (Claudio)
CUARENTA Y (3,22,1,19,5,14,21,1,26) -3+22-1+19-5+14+21-1-26=40 (Mmonchi)
CINCUENTA (3,9,14,3,22,5,14,21,1) 3+9+14+3+22+5+14-21+1=50 (Mmonchi)
CINCUENTA Y (3,9,14,3,22,5,14,21,1,26) 3+9+14-3+22-5+14+21+1-26=50 (Mmonchi)
SESENTA (20,5,20,5,14,21,1) (20+5-20+5)*raíz(14+21+1)=60 (Mmonchi)
SESENTA Y (20,5,20,5,14,21,1,26) 20+5+20+5+14+21+1-26=60 (Mmonchi)
SETENTA (20,5,21,5,14,21,1) 20+raíz(raíz(-5+21))+5*14-21-1=70 (Mmonchi)
SETENTA Y (20,5,21,5,14,21,1,26) 20+5+21+5+14-21+1*26=70 (Mmonchi)
OCHENTA (16,3,8,5,14,21,1) 16+3*8+5+14+21*1=80 (Mmonchi)
OCHENTA Y (16,3,8,5,14,21,1,26) raíz(16)+3+8+5+14+21-1+26=80 (Mmonchi)
NOVENTA (14,16,23,5,14,21,1) 14+raíz(16)+23+5*14-21*1=90 (Mmonchi)
NOVENTA Y (14,16,23,5,14,21,1,26) 14+16+23+5-14+21-1+26=90 (Mmonchi)
CIEN (3,9,5,14) y   -3-raíz(9)+5!-14 = 100 (Mmonchi)
CIENTO (3,9,5,14,21,16) (3*9+5+14-21)*raíz(16)=100 (Mmonchi)
CIENTOS (3,9,5,14,21,16,20) (-3*raíz(9)+5+14-21+16)*20=100  (Mmonchi)
QUINIENTOS (18,22,9,14,9,5,14,21,16,20) (18-22+9+14-9*5+14+21+16)*20=500 (Mmonchi)
SETECIENTOS (20,5,21,5,3,9,5,14,21,16,20) (20+5-21+5+3+9+5+14-21+16)*20=700 (Mmonchi)
NOVECIENTOS (14,16,23,5,3,9,5,14,21,16,20) (14+16-23+5*3+9+5+14-21+16)*20=900
MIL (13,9,12) y raíz(raíz(13-raíz(9)))^12 = 1000 (Mmonchi)
MILLON (13,9,12,12,16,14)   y  raíz(13-raíz(9))^12*((12+raíz(raíz(16)))/14 = 1000000 (Mmonchi)
MILLONES (13,9,12,12,16,14,5,20) raíz(13-raíz(9))^(12-12-raíz(16)+14)*raíz(5*20)=1000000 (Mmonchi)
BILLON (2,9,12,12,16,14) y ((2+raíz(9))!/12)^(raíz(12*(-raíz(raíz(16))+14))) = 1000000000000 (Mmonchi)
BILLONES (2,9,12,12,16,14,5,20) ((2+raíz(9))!/12)^(-raíz(12+raíz(16))+14)*5*20=1E12 (Mmonchi)
TRILLON (21,19,9,12,12,16,14) y (21-19+9-12/12)^(raíz(16)+14) = 1000000000000000000 (Mmonchi)
TRILLONES (21,19,9,12,12,16,14,5,20) (21-19+9-12/12)^(raíz(raíz(16))+14)*5*20=1E18 (Mmonchi)
CUATRILLON (3,22,1,21,19,9,12,12,16,14) (raíz(3+22)*(-1+21))^(-19+9+12+12-16+14)=1E24 (Mmonchi)
CUATRILLONES (3,22,1,21,19,9,12,12,16,14,5,20) raíz((raíz(3+22)*(-1+21))^(19+9+12+12-16-14))*5*20=1E24 (Mmonchi)
QUINTILLON (18,22,9,14,21,9,12,12,16,14) raíz((-18+22+raíz(9)!)^(14+21+raíz(9)+12+12-16+14))=1E30 (Mmonchi)
 QUINTILLONES (18,22,9,14,21,9,12,12,16,14,5,20) (-18+22+raíz(9)!)^(-14-21-9+12-12-16+14*5+20)=1E30 (Mmonchi)
SEXTILLON (20,5,25,21,9,12,12,16,14) raíz((-20+5+25)^(21+9+12+12+raíz(16)+14))=1E36 (Mmonchi)
SEXTILLONES (20,5,25,21,9,12,12,16,14,5,20) raíz(raíz((-20+5+25)^(21*9+12-12-16-14+5-20)))=1E36 (Mmonchi)
SEPTILLON (20,5,17,21,9,12,12,16,14) (20*5)^(17+21+9-12-12-16+14)=1E42 (Mmonchi)
SEPTILLONES (20,5,17,21,9,12,12,16,14,5,20) raíz(20*5)^(17-21-9-12+12+16+14+5+20)=1E42 (Mmonchi)
OCTILLON (16,3,21,9,12,12,16,14) (16-3!)^(21+9+12-12+raíz(16)+14)=1E48 (Mmonchi)
OCTILLONES (16,3,21,9,12,12,16,14,5,20) (16-3!)^(21+raíz(9)+12+12-16+14)*5*20=1E48 (Mmonchi)
NONILLON (14,16,14,9,12,12,16,14) raíz(14-raíz(16))^(14+9*12-12-16+14)=1E54 (Mmonchi)
NONILLONES (14,16,14,9,12,12,16,14,5,20) (14-raíz(16))^(14+9-12-12+16+14+5+20)=1E54 (Mmonchi)
DECILLON (4,5,3,9,12,12,16,14) (raíz(4)*5)^(-3+9+12+12+16+14)=1E60 (Mmonchi)
DECILLONES (4,5,3,9,12,12,16,14,5,20) (raíz(4)*5)^(3*raíz(9)+12+12+16-14+5+20)=1E60 (Mmonchi)
UNDECILLON (22,14,4,5,3,9,12,12,16,14) (22-14+raíz(4))^(5*3-raíz(9)+12+12+16+14)=1E66 (Mmonchi)
UNDECILLONES (22,14,4,5,3,9,12,12,16,14,5,20) (22-14+raíz(4))^(5-3+9-12+12+16+14+5+20)=1E66 (Mmonchi)
DUODECILLON (4,22,16,4,5,3,9,12,12,16,14) (4+22-16)^(-4-5+3+3*12+12+16+14)=1E72 (Mmonchi)
DUODECILLONES (4,22,16,4,5,3,9,12,12,16,14,5,20) (4+22-16)^(4-5-3-3+12+12+16+14+5+20)=1E72 (Mmonchi)
TRIDECILLON (21,19,9,4,5,3,9,12,12,16,14) ((21-19+raíz(9))*raíz(4))^(5*3+9+12+12+16+14)=1E78 (Mmonchi)
TRIDECILLONES (21,19,9,4,5,3,9,12,12,16,14,5,20) ((21-19+raíz(9))*raíz(4))^(5+3-9+12+12+16+14+5+20)=1E78 (Mmonchi)
CUATRIDECILLON (3,22,1,21,19,9,4,5,3,9,12,12,16,14) (raíz(3+22)*(-1+21))^(19+9-4*5+3+9+12+12-16+14)=1E84 (Mmonchi)
CUATRIDECILLONES (3,22,1,21,19,9,4,5,3,9,12,12,16,14,5,20) (raíz(3+22)*(-1+21))^(19-9+4+5+3+9+12+12+16-14+5-20)=1E84 (Mmonchi)
QUIDECILLON (18,22,9,4,5,3,9,12,12,16,14) ((raíz(-18+22)+raíz(9))*raíz(4))^(5*(3+9-12-12+16+14))=1E90 (Mmonchi)
QUIDECILLONES (18,22,9,4,5,3,9,12,12,16,14,5,20) (Mmonchi)((raíz(-18+22)+raíz(9))*raíz(4))^(5-3+9+12+12+16+14+5+20)=1E90 (Mmonchi)
SEXDECILLON (20,5,25,4,5,3,9,12,12,16,14) (20*5)^(25+4+5+3+9+12-12+16-14)=1E96 (Mmonchi)
SEXDECILLONES (20,5,25,4,5,3,9,12,12,16,14,5,20) (20*5)^(25+4*5+3+9-12-12+16+14+5-20)=1E96 (Mmonchi)
SEPTIDECILLON (20,5,17,21,9,4,5,3,9,12,12,16,14) (20*5)^(17+21-9+4+5*3+9+12+12-16-14)=1E102 (Mmonchi)
SEPTIDECILLONES (20,5,17,21,9,4,5,3,9,12,12,16,14,5,20) (20*5)^(17-21+9-4+5-3+9+12+12+16+14+5-20)=1E102 (Mmonchi)
OCTODECILLON (16,3,21,16,4,5,3,9,12,12,16,14) (raíz(16)+3!)^(21+16-4+5*3!-9+12+12+16+14)=1E108 (Mmonchi)
OCTODECILLONES (16,3,21,16,4,5,3,9,12,12,16,14,5,20) (raíz(16)+3!)^(21+16+4+5+6+9+12+12-16+14+5+20)=1E108 (Mmonchi)
NONIDECILLON (14,16,14,9,4,5,3,9,12,12,16,14) (14-raíz(16))^(14+9*4-5+3*9+12+12+raíz(16)+14)=1E114 (Mmonchi)
NONIDECILLONES (14,16,14,9,4,5,3,9,12,12,16,14,5,20) (Mmonchi)(14-raíz(16))^(14+9+4+5*3+raíz(9)+12+12+16+14-5+20)=1E114 (Mmonchi)
VIGILLON (23,9,7,9,12,12,16,14) (23-raíz(9)!-7)^(raíz(9)*(12+12+raíz(raíz(16))+14))=1E120 (Mmonchi)
VIGILLONES (23,9,7,9,12,12,16,14,5,20) (23-raíz(9)!-7)^((9+12-12+16-14-5)*20)=1E120  (Mmonchi)

Con estos aportes de Mmonchi podemos lograr como el bien explica, todos los números menores a 10^126


Por ejemplo :para resolver el 24135687 se hace la operación (VEINTI + CUATRO) * MILLONES + (CIENTO + TREINTA Y + CINCO) * MIL + SEIS * CIENTOS + OCHENTA Y + SIETE.




Realmente nunca pensé que se podrían obtener estos increíbles resultados. Expreso mis felicitaciones y mi admiración por todos los que participaron y especialmente por Mmonchi.que logró todos los números
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